Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule os seguintes limites abaixo.

a ) lim x , y → 1,0 ⁡ 1 ln ⁡ x y + 5 y + e x

Passo 1

E aí galerinha, como vocês tão? Tudo tranquilo?

Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite de duas variáveis:

lim x , y → 1,0 ⁡ 1 ln ⁡ x y + 5 y + e x

O limite de função de duas variáveis não é suuper diferente do limite de função de uma variável. O primeiro passo continua sendo substituir o valor que as variáveis x e y estão tendendo, e verificar se isso nos dá um valor aceitável ou ocorre um absurdo matemático.

Caso ocorra um absurdo matemático, precisamos tentar calcular o limite de outra forma, ou provar que ele não existe.

E, é exatamente aí que mora a maior diferente entre o limite de duas variáveis para o de uma variável. No limite com duas variáveis pra o limite realmente existir, a função precisa tender para um mesmo valor independentemente do caminho escolhido. Como duas variáveis formam uma superfície, existem infinitos caminhos e em todos eles a função precisa tender para um mesmo valor, sacou?

Bom, mas chega de papoo, vamos matar o limite que o nosso problema nos deu.

Vem comigo 😊

Passo 2

Como comentamos no passo anterior, o primeiro passo é sempre substituir o valor que ( x , y ) está tendendo pra verificar se ocorre algum absurdo matemático.

Daí:

lim x , y → 1,0 ⁡ 1 ln ⁡ x y + 5 y + e x

Substituindo x = 1 e y = 0 , teremos:

lim x , y → 1,0 ⁡ 1 ln ⁡ x y + 5 y + e x = 1 ln ⁡ 1 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 + e 1

= 1 ln ⁡ e

Mas, pela propriedade do logaritmo, sabemos que:

log a ⁡ a = 1

Assim:

ln ⁡ e = 1

Portanto, o limite que estamos querendo calcular vale:

lim x , y → 1,0 ⁡ 1 ln ⁡ x y + 5 y + e x = 1

Olha que legal! Como substituindo os valores de x e y o nosso limite realmente tendeu a um número, sem que houvesse qualquer absurdo matemático, significa que ele realmente existe e vale 1 .

Sacaram a ideia pessoal??!

É isso aí então, obrigado pela atenção e até a próxima 😊

Resposta

1

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