Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 306 - 45

Sabendo que

1 - x 2 y 2 3 ≤ t g - 1 x y x y ≤ 1

você pode dizer algo sobre

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ?

Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos usar a inequação que ele deu:

1 - x 2 y 2 3 ≤ t g - 1 x y x y ≤ 1

Aplicando o limite:

l i m x , y → 0,0 1 - x 2 y 2 3 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ≤ l i m x , y → 0,0 1 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando o limite da esquerda:

l i m x , y → 0,0 1 - x 2 y 2 3 = 1 - 0 3 = 1

Passo 3

Ou seja:

1 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ≤ 1

Pelo teorema do sanduíche:

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y = 1

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y = 1

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