Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.

(i) lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sin ⁡ x 2 + y 3 x 4 + y 4

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dado um limite e nosso objetivo é verificar se podemos utilizar o teorema do confronto para calcular o limite e tambem calcular o limite...

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Se temos que calcular um limite de uma função f e conseguimos definir f entre duas funções g e h , tal que

g ≤ f ≤ h

Se calcularmos os limites de f , g e h e os limites de g e h convergirem para um mesmo valor, então certamente o limite de f também convergirá para o mesmo valor...

lim ⁡ g ≤ lim ⁡ f ≤ lim ⁡ h → L ≤ lim ⁡ f ≤ L

lim ⁡ f = L

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Nesse caso, nossa função f é dada por

f x , y = x 4 sin ⁡ x 2 + y 3 x 4 + y 4

E queremos saber o limite de f para x , y → 0,0 , 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sin ⁡ x 2 + y 3 x 4 + y 4

Podemos começar dizendo que sin ⁡ x 2 + y 3 está contida entre - 1 e 1 , ou seja

- 1 ≤ sin ⁡ x 2 + y 3 ≤ 1

Multiplicando todos os lados por x 4 x 4 + y 4

- x 4 x 4 + y 4 ≤ x 4 sin ⁡ x 2 + y 3 x 4 + y 4 ≤ x 4 x 4 + y 4

Calculando o limite de todos os lados, chegamos em

lim x , y → 0,0 ⁡ - x 4 x 4 + y 4 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sin ⁡ x 2 + y 3 x 4 + y 4 ≤ lim x , y → 0 , 0 ⁡ x 4 x 4 + y 4

Para calcular o limite de g e h podemos usar o método da aproximação por curvas, assim definimos x ou y em função de uma curva e substituímos no limite...

Lembra disso? 👀

Passo 3

Como g = - h os limites têm que resultar em 0 para que o limite de f exista...

Porém, veja o que acontece se nos aproximarmos pela reta x = y ...

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 x 4 + y 4 → lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 x 4 + x 4

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 2 x 4

lim x , y → 0,0 ⁡ 1 2 = 1 2

Dessa forma, substituindo no teorema do confronto, temos que

(Obs: não nos importa se o limite de x 4 x 4 + y 4 existe ou não pois o que temos que analisar é a função f )

lim x , y → 0,0 ⁡ - x 4 x 4 + y 4 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sin ⁡ x 2 + y 3 x 4 + y 4 ≤ lim x , y → 0 , 0 ⁡ x 4 x 4 + y 4

- 1 2 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sin ⁡ x 2 + y 3 x 4 + y 4 ≤ 1 2

Portanto, pelo teorema do confronto, temos que

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sin ⁡ x 2 + y 3 x 4 + y 4 = D i v e r g e

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sin ⁡ x 2 + y 3 x 4 + y 4 = D i v e r g e

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