Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a função

f x ,   y = 2 y x - 1 2 x - 1 2 + y 2 + 4 x y - 1 x 2 + y - 1 2

para todo x ,   y ≠ 1 ,   0 e x ,   y ≠ 0 ,   1 . O valor do limite lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ f x ,   y é

a) - 2 .

b) - 1 .

c) 1 .

d) 0 .

e) inexistente.

Passo 1

Eai pessoal, beleza? Bora tentar calcular esse limite?

Queremos calcular o limite:

lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ 2 y x - 1 2 x - 1 2 + y 2 + 4 x y - 1 x 2 + y - 1 2

Note que quando x → 1 e y → 0 , o segundo termo tende a

4 x y - 1 x 2 + y - 1 2 → 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 = - 2

Quando olhamos para o primeiro termo, vemos que ele fica numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Por uma questão de simplicidade, vamos chamar

g x ,   y = 2 y x - 1 2 x - 1 2 + y 2

Assim,

f x ,   y = g x ,   y + 4 x y - 1 x 2 + y - 1 2

Passo 2

Vamos olhar para g ( x ,   y ) :

g x ,   y = 2 y ⋅ x - 1 2 y 2 + x - 1 2

Note que

x - 1 2 ≤ y 2 + x - 1 2

Portanto,

x - 1 2 y 2 + x - 1 2 ≤ 1

2 y → 0 quando y → 0 . Assim, g é o produto de uma função que tende a zero por outra limitada. Sempre que isso acontece o limite existe e é zero:

lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ g x ,   y = 0

Como

f x ,   y = g x ,   y + 4 x y - 1 x 2 + y - 1 2

e

4 x y - 1 x 2 + y - 1 2 → - 2

Logo,

lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ f x ,   y = lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ g x ,   y + lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ 4 x y - 1 x 2 + y - 1 2 = 0 - 2 = - 2

Pode assinalar a alternativa A sem medo 😉

Resposta

Alternativa A.

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