Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 2, exercício 10

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 1,0 ⁡ x - 1 y 2 x - 1 2 + y 2

Passo 1

Vamos primeiro tentar substituir os valores x , y = ( 1,0 ) diretamente:

1 - 1 . 0 2 1 - 1 2 + 0 2

Claramente não deu certo, caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, então vamos tentar aplicar o Teorema do Sanduíche! :)

Vamos dar uma olhada na expressão do limite:

x - 1 y 2 x - 1 2 + y 2

A gente tem que limitar alguma coisa, criando uma inequação. E aqui tem algo que parece bem promissor:

0 ≤ y 2 ≤ ( x - 1 ) ² + y 2

Né?

Dividindo tudo por ( x - 1 ) ² + y 2 :

0 ≤ y 2 x - 1 2 + y 2 ≤ x - 1 2 + y 2 x - 1 2 + y 2 = 1

Passo 3

Beleza, então essa expressão é limitada. E também temos que

lim x , y → 1,0 ⁡ x - 1 = 0

Logo, pelo teorema do anulamento, diretamente temos que

lim x , y → 1,0 ⁡ x - 1 . y 2 x - 1 2 + y 2 = 0

Resposta

L = 0

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