Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2011.1, 3a

Seja a função

f x , y = x 3 x 2 + y 2

  1. Verifique que lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Passo 1

  1. Primeiro, tentamos a substituição direta. Temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 =   0 3 0 2 + 0 2  

Temos uma indeterminação. Devemos procurar outros meios de calcular esse limite.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos reescrever esse limite como:

l i m x , y → 0,0 x 3 x 2 + y 2 =   l i m x , y → 0,0 x . x 2 x 2 + y 2

Sabemos que:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1  

Logo x 2 x 2 + y 2 é limitado.

Passo 3

Como l i m x , y → 0,0 x = 0 e x 2 x 2 + y 2 é limitado, podemos usar o teorema do anulamento. Logo:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 = 0

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