Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2018.1, questão 3a

Determine o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2

Passo 1

Se tentarmos a simples substituição, vamos chegar na indeterminação

lim x , y → 0,0 ⁡ 0 3 + 0 3 0 2 + 0 2 = 0 0

Precisamos de uma forma de sair dessa indeterminação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos olhar bem de pertinho a expressão desse limite:

x 3 + y 3 x 2 + y 2

WTF, qq eu vô fazê com esse danado???

Pois é, de imediato assim eu também não fazia a menor ideia.

Mas aí resolvi começar separando essa expressão em duas:

x 3 + y 3 x 2 + y 2 = x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + y 2

E então me lembrei de uma coisa chamada desigualdade triangular, que diz o seguinte:

a + b ≤ a + b

Então,

x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + y 2 ≤ x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + y 2

Passo 3

Beleza, estamos com isso aqui então:

x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + y 2

Acontece que ainda podemos abrir isso um pouco mais, assim:

x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + y 2 ≤ x 2 x x 2 + y 2 + y 2 y x 2 + y 2

E, ainda, sabemos que:

x = x 2 ,     y ≤ y 2

Então

x 3 + y 3 x 2 + y 2 ≤ x 2 x 2 x 2 + y 2 + y 2 y 2 x 2 + y 2

Passo 4

Tá, mas isso ainda não parece estar ajudando muito a gente.

Mas veja bem:

x 2 ≤ x 2 + y 2

E

y 2 ≤ x 2 + y 2

Substituindo isso no que a gente já tem, ficamos com

x 3 + y 3 x 2 + y 2 ≤ x 2 x 2 x 2 + y 2 + y 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

E agora a gente pode pegar isso que separamos e juntar de novo, hehe

Passo 5

Aí você deve estar pensando:

Oxi, mas tu é doida?? Separou pra juntar?

Calma, não sou doida!

Mas olha bem no que a gente chegou. Olha bem como vai ficar se juntarmos de novo:

x 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

Ou seja

x 3 + y 3 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

E ai agora a gente pode cortar ( x 2 + y 2 ) do numerador com o do denominador.

x 3 + y 3 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2

Passo 6

Assim, nosso limite fica:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 ≤ lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2

E agora a gente pode fazer uma simples substituição nesse limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 0 2 + 0 2 = 0

Então

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 = 0

UFA!

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 = 0

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