Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

UFRJ, PF 2015.1, questão 4

O valor do limite

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4  

é

(a) 2.

(b) o limite não existe

(c) 0.

(d)

(e) 1.

Passo 1

Vamos primeiro tentar substituir os valores x , y = ( 0,0 ) diretamente:

0 2 sen ⁡ 0 0 2 + 0 4

Claramente não deu certo, caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, então vamos tentar aplicar o Teorema do Sanduíche! :)

Vamos dar uma olhada na expressão do limite:

x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4  

A gente tem que limitar alguma coisa, criando uma inequação. E aqui tem algo que parece bem promissor:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 4

Né? Porque y 4 ≥ 0 .

Dividindo tudo por x 2 + y 4 :

0 ≤ x 2 x 2 + y 4 ≤ x 2 + y 4 x 2 + y 4 = 1

Passo 3

Beleza, então essa expressão é limitada. E também temos que

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ y = 0

Logo, pelo teorema do anulamento, diretamente temos que

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ y x 2 x 2 + y 4 = 0

Passo 4

Uma alternativa sem o teorema do anulamento é pegar a inequação

0 ≤ x 2 x 2 + y 4 ≤ 1

e multiplicar por sen ⁡ ( y ) . Mas temos que tomar cuidado com os sinais!

  • Se sen ⁡ ( y ) ≥ 0 :
  • 0 ≤ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4   ≤ sen ⁡ ( y )

    E como lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ sen ⁡ ( y ) = 0 , pelo teorema do Sanduíche:

    lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4   = 0

  • E se sen ⁡ ( y ) ≤ 0 :

0 ≥ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4   ≥ sen ⁡ ( y )

E não vai mudar o resultado: analogamente obtemos que o limite dá zero! :)

Resposta

Alternativa (c)

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