Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Se

f x , y = x 4 cos 2 ⁡ y x 2 + y 2

Então

  1. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) não pode ser calculado pois f ( x , y ) não está definida em ( 0,0 )
  2. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) não existe
  3. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 0
  4. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 1
  5. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 2

Passo 1

Bem, já que as opções estão falando de limite, vamos tentar calcular o limite dessa função quando x , y → ( 0,0 ) né.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 cos 2 ⁡ y x 2 + y 2

Pra começar, vamos tentar substituir x = 0 e y = 0 , vai que...

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 cos 2 ⁡ y x 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ 0 4 cos 2 ⁡ 0 0 2 + 0 2 = 0 0

Tudo bem, eu já esperava que a gente ia chegar numa indeterminação...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, pra sair disso, vamos começar reescrevendo a função do limite da seguinte maneira:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 cos 2 ⁡ y x 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ y ∙ x 2 x 2 + y 2

Agora vamos tentar aplicar o teorema do sanduíche, porque sempre que a gente vê esse negócio de x 2 + y 2 no denominador e x ^ ( e x p o e n t e   p a r ) no numerador já dá mó vontade de fazer isso né.

Bora lá então

Passo 3

Vamos tentar limitar a expressão

x 2 x 2 + y 2

Para isso, podemos dizer que

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

Agora podemos dividir todo mundo por x 2 + y 2 :

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Tá, mas isso não é a nossa expressão né...

Tá faltando uma coisinha básica aí, que é multiplicar por x 2 cos 2 ⁡ y . Fazendo isso:

0 ≤ x 4 cos 2 ⁡ y x 2 + y 2 ≤ x 2 cos 2 ⁡ y

Passo 4

Beleza, aí fazendo isso, pelo teorema do sanduíche, podemos calcular os limites dos extremos e se derem iguais, podemos dizer que esse é o valor do limite da função do meio, que no caso é o limite que queremos saber.

Vamos lá?

lim x , y → 0,0 ⁡ 0 = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ y = 0 2 cos 2 ⁡ 0 = 0

Opa, deu certo.

Como os limites dos extremos é zero, então o limite da função do meio tbm é zero, assim

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 0

Resposta

Letra ( c )

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