Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

UFPE, Cálculo 2, 1°EE, 2013.1, questão 1b

Calcule os seguintes limites, caso existam:

b) lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 x 2 + y 2 - 4 y + 4

Passo 1

  1. Substituindo:

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 x 2 + y 2 - 4 y + 4 = 0 0

Então, devemos buscar um novo método para verificar esse limite.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ajeitando esse limite:

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 x 2 + y 2 - 4 y + 4 = lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 + y - 2 2 =

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2 lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2

Passo 3

Perceba que:

lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 = 0

Agora, vamos calcular

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2

É notório que:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y - 2 2

Ajeitando

0 ≤ x 2 x 2 + y - 2 2 ≤ 1

Tomando os limites:

0 ≤ lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2 ≤ 1

Ou seja, o termo acima é limitado.

Passo 4

Como 0 ≤ lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2 ≤ 1

E

lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 = 0

Então, pelo teorema do anulamento:

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2 lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 = 0

Resposta

b) lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 x 2 + y 2 - 4 y + 4 = 0

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