Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Determine o limite, se existir, ou prove que o limite não existe:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Não é permitido usar coordenadas polares.

Passo 1

Precisamos calcular ou mostrar que esse limite aí de baixo não existe:

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y )

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Tentando por simples substituição, chegamos a indeterminação 0 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, precisamos sair dessa indeterminação então.

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos fazer uso do Teorema do Anulamento.

“Ah, mas como funciona o teorema do anulamento?” Calma, vou te mostrar agora!

Temos o seguinte limite:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ g x , y   .   f ( x , y )

Para o Teorema do Anulamento funcionar, nós temos que ter um produto de uma função limitada e uma função esteja indo a zero no limite, ou seja:

g x , y → t e m   q u e   s e r   l i m i t a d a

f x , y → 0

Se conseguirmos ter essa ideia, podemos concluir que:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ g x , y   .   f x , y = 0

“Ok, mas o que é uma função limitada?”

Bom, a ideia é que uma função limitada é quando você consegue identificar os valores mínimos e máximos dessa função e com isso, você consegue saber se naquele intervalo pode acontecer alguma indeterminação. Se não acontecer, ela serve pro teorema e conseguimos resolver a nossa questão :D !

Ok, agora vamos aplicar isso na nossa questão, vem comigo:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = l i m x , y → 0,0   x x 2 + y 2 y

Se a gente for usar a estrutura anterior:

f x , y = y

g x , y =   x x 2 + y 2

Agora repara só:

l i m x , y → 0,0 y = 0

Show, já descobrimos que a nossa f x , y vai a 0 no nosso limite, primeira parte concluída, agora temos que provar que g x , y é limitada

Passo 3

Ok, e como vamos provar que a nossa g x , y é limitada? Vamos partir dos princípios do Teorema do Sanduíche:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 +   y 2  

Agora, vamos dividir todos os termos por ( x 2 +   y 2 ) :

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1  

Só que no nosso enunciado, ele quer o denominador todo em raiz, então vamos tirar a raiz de todos os termos da nossa inequação:

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1  

0 ≤ | x | x 2 + y 2 ≤ 1  

ATENÇÃO!!! x 2 = | x | NÃO ESQUEÇA DO MÓDULO!

Ok, mas no enunciado nós temos | x | no numerador? Não né?

Pois é, então nós vamos ter que analisar a nossa inequação de acordo com os intervalos de x   e como o | x | se comporta, então vamos la:

Passo 4

Ok, vamos analisar como x se comporta:

x = x   ,   x ≥ 0

x =   - x   ,   x < 0

(OBS: Galera, se vocês tem dificuldade nessa parte de módulo, da uma olhadinha no tópico sobre módulos que nós temos aqui no Responde Aí que lá está bem completo para vocês ta? :D)

Voltando:

Então, vamos dividir cada caso em intervalos diferentes, vamos la:

  1. Quando   x ≥ 0   ,   x = x   .. Logo:

0 ≤ x x 2 + y 2 ≤ 1  

Ok, repare que nesse intervalo encontramos a função do nosso enunciado e já conseguimos provar que ela é limitada, pois os valores dela vão variar justamente [0,1].

Vamos agora para o segundo:

  1. Quando   x < 0   ,   x = - x   .. Logo:

0 ≤ - x x 2 + y 2 ≤ 1  

Vamos multiplicar tudo por (-1):

0 ≥ x x 2 + y 2 ≥ - 1  

Fique atento que ao multiplicar por algum valor negativo, os sinais da inequação se invertem ta?

Vamos dar uma arrumada agora:

- 1 ≤ x x 2 + y 2 ≤ 0  

Show, repare que nesse intervalo nós também encontramos a função do nosso enunciado e que ela também é limitada no intervalo de [-1,0]

Vamos agora unir as conclusões que tiramos dos dois intervalos

- 1 ≤ x x 2 + y 2 ≤ 0     U   0 ≤ x x 2 + y 2 ≤ 1  

- 1 ≤ x x 2 + y 2 ≤ 1

Shoow galera!! Conseguimos provar que a nossa função é limitada.

Passo 5

Vamos la galera, para finalizar:

l i m x , y → 0,0   x x 2 + y 2 y

Descobrimos que:

- 1 ≤ x x 2 + y 2 ≤ 1

Ou seja, descobrimos que a nossa função acima é limitada de [-1 ,1]

Além disso, descobrimos que

l i m x , y → 0,0 y = 0

Com isso, podemos concluir que

l i m x , y → 0,0   x x 2 + y 2 y = 0

Resposta

l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 = 0

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