Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule os seguintes limites abaixo.

b ) lim x , y → π 4 , π ⁡ [   s e n 2 x + s e n 2 y ]

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite de duas variáveis:

lim x , y → π 4 , π ⁡   s e n 2 x + s e n 2 y

O limite de função de duas variáveis não é suuper diferente do limite de função de uma variável. O primeiro passo continua sendo substituir o valor que as variáveis x e y estão tendendo, e verificar se isso nos dá um valor aceitável ou ocorre um absurdo matemático.

Caso ocorra um absurdo matemático, precisamos tentar calcular o limite de outra forma, ou provar que ele não existe.

E, é exatamente aí que mora a maior diferente entre o limite de duas variáveis para o de uma variável. No limite com duas variáveis pra o limite realmente existir, a função precisa tender para um mesmo valor independentemente do caminho escolhido. Como duas variáveis formam uma superfície, existem infinitos caminhos e em todos eles a função precisa tender para um mesmo valor, sacou?

Bom, mas chega de papoo, vamos matar o limite que o nosso problema nos deu.

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom galera, vamos começar com aquela nossa primeira etapa clássica no cálculo de limites: substituir os valores que x e y estão tendendo dentro da função.

Temos:

lim x , y → π 4 , π ⁡   s e n 2 x + s e n 2 y

Substituindo x = π 4 e y = π , vamos ter:

lim x , y → π 4 , π ⁡   s e n 2 x + s e n 2 y

= s e n 2 ⋅ π 4 + s e n   2 ⋅ π

= [ s e n π 2 + s e n 2 π ]

Como:

s e n π 2 = 1 s e n 2 π = 0

Logo:

lim x , y → π 4 , π ⁡   s e n 2 x + s e n 2 y = 1 + 0

= 1

Olha aí! Não encontramos nenhum absurdo matemático, pelo contrário, encontramos um valor para o qual o limite está tendendo! Assim, o nosso limite vale 1 .

É isso gente! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

1

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