Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 2, exercício 14

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 0,1 ⁡ x 2 x + 1 + ( y - 1 ) ² x 2 + ( y - 1 ) ²

Passo 1

Vamos primeiro tentar substituir os valores x , y = ( 0,1 ) diretamente:

0 2 0 + 1 + 1 - 1 2 0 2 + 1 - 1 2

Claramente não deu certo, caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos dar uma olhada na expressão do limite:

x 2 x + 1 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2

Repare que podemos fazer:

x 2 x + 1 + ( y - 1 ) ² x 2 + ( y - 1 ) ² = x 2 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2 + x 2 x + 1 - x 2 x 2 + y - 1 2 = 1 + x 3 x 2 + y - 1 2

Assim temos

lim x , y → 0,1 ⁡ x 2 x + 1 + ( y - 1 ) ² x 2 + ( y - 1 ) ² = lim x , y → 0,1 ⁡ 1 + lim x , y → 0,1 ⁡ x 3 x 2 + y - 1 2

lim x , y → 0,1 ⁡ x 2 x + 1 + ( y - 1 ) ² x 2 + ( y - 1 ) ² = 1 + lim x , y → 0,1 ⁡ x 3 x 2 + y - 1 2

Passo 3

Ok, agora para resolver esse segundo limite ai que chegamos, vamos tentar o Teorema do Sanduíche.

Observe que podemos escrever

x 3 x 2 + y - 1 2 = x ∙ x 2 x 2 + y - 1 2

Vamos limitar isso aí:

0 ≤ x ² ≤ x 2 + y - 1 2

Dividindo tudo por x 2 + y - 1 2 :

0 ≤ x ² x 2 + y - 1 2 ≤ x 2 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2 = 1

Agora multiplicando por x :

0 . x ≤ x 3 x 2 + y - 1 2 ≤ 1 . x

Passo 4

Agora vamos tirar os limites

l i m x , y → ( 0,1 ) 0 ≤ l i m x , y → ( 0,1 ) x 3 x 2 + y - 1 2 ≤ l i m x , y → ( 0 , 1 ) x

0 ≤ l i m x , y → 0,1 x 3 x 2 + y - 1 2 ≤ 0

Assim, pelo teorema do sanduba:

l i m x , y → 0,1 x 3 x 2 + y - 1 2 = 0

Passo 5

Mas a questão ainda não acabou, não é mesmo? O que acabamos de achar é só uma parte do limite da função da questão. Temos que voltar lá na expressão que achamos no passo 2.

lim x , y → 0,1 ⁡ x 2 x + 1 + ( y - 1 ) ² x 2 + ( y - 1 ) ² = 1 + lim x , y → 0,1 ⁡ x 3 x 2 + y - 1 2

Substituindo os resultados encontrados:

lim x , y → 0,1 ⁡ x 2 x + 1 + ( y - 1 ) ² x 2 + ( y - 1 ) ² = 1 + 0 = 1

Resposta

L = 1

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