Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Limites e Continuidade

Considere os seguintes limites:

i )   lim x , y → 1,0 ⁡ x y x 2 + y 2 i i )   lim x , y → 0 , 0 ⁡ x ² x 2 + y 4

Então:

(a) i ) existe, i i ) não existe

(b) i ) existe, i i ) existe

(c) i ) não existe, i i ) existe

(d) i ) não existe, i i ) não existe

(e) nenhuma das outras opções

Passo 1

Quando nos deparamos com uma questão de limites, é bom ter em mente esse passo a passo:

  • Tentar substituir os valores diretamente
  • Tentar aplicar o teorema do Sanduíche
  • Substituir y = m x ou y = m x ² pra provar que o limite não existe

Mas esses passos têm uma certa flexibilidade, por exemplo, se você tiver um feeling que o limite não existe você pode pular o segundo!

Enfim, vamos aplicar isso! :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pelo primeiro limite, vamos tentar substituir os valores:

lim x , y → 1,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = 1.0 1 2 + 0 2 = 0 1 = 0

Ótimo! Essa foi tranquila! Substituímos e deu tudo certo, portanto o limite i ) existe!

Passo 3

Maas, como a vida não é tão fácil assim, se tentarmos substituir os valores no limite i i ) , vamos cair numa indeterminação do tipo 0 0 .

Então vamos tentar aplicar o teorema do Sanduíche. Podemos tentar algo do tipo:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 4

⇒   0 x 2 + y 4 ≤ x 2 x 2 + y 4 ≤ x 2 + y 4 x 2 + y 4

⇒   0 ≤ x 2 x 2 + y 4 ≤ 1

Bom, limitamos a expressão mas isso não adiantou nada! Não provamos que o limite existe!

Nesse caso, é melhor a gente passar pro próximo passo e tentar provar que o limite não existe, ok?

Passo 4

Vamos calcular o limite pela reta y = 0 , assim fica algo bem tranquilo de calcular:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 = 1

Beleza, por esse caminho o limite deu 1, então se acharmos algum outro valor por outro caminho vamos poder provar que o limite não existe!

Um outro caminho simples que podemos usar é pela reta x = 0 :

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ 0 0 + y 4 = 0

Show! Por esse caminho deu diferente! Então o limite i i ) não existe.

Resposta

Alternativa (a)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas