Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule, se possível, os limites indicados:

lim x → 0 ⁡ 2 x 3 cos ⁡ 2 x

  1. 1
  2. 0
  3. 2
  4. - 2
  5. Não existe

Passo 1

Amigas e amigos, vocês estão prontos? Mais um exercício sobre limite e vamos olhar esse limite com carinho:

lim x → 0 ⁡ 2 x 3 cos ⁡ 2 x

Viu que tem um cosseno sendo multiplicado por outro valor de x , então podemos usar a técnica do Teorema Sanduíche!

Passo 2

Para começar o Teorema Sanduíche, vamos lembrar que a expressão do cosseno varia entre o valor de - 1 e 1 :

- 1 < cos ⁡ x < 1

Então não importa o valor de x dentro do cosseno, mantemos essa relação:

- 1 < cos ⁡ x 2 < 1

A expressão dentro do limite é:

2 x 3 cos ⁡ 2 x

Então vamos colocar o elemento 2 x 3 na nossa inequação:

2 x 3 ⋅ - 1 < 2 x 3 ⋅ cos ⁡ x 2 < 2 x 3 ⋅ 1

Ficamos com:

- 2 x 3 < 2 x 3 ⋅ cos ⁡ x 2 < 2 x 3

Passo 3

Agora podemos aplicar o limite em cada parcela de nossa inequação:

lim x → 0 ⁡ - 2 x 3 < l i m x → 0   2 x 3 ⋅ cos ⁡ x 2 < l i m x → 0 2 x 3

Vamos trabalhar nesses limites que apareceram:

lim x → 0 ⁡ - 2 x 3

Aplicando a substituição:

lim x → 0 ⁡ - 2 x 3 = - 2 ⋅ 0 3 = 0

O mesmo ocorre do outro lado:

l i m x → 0 2 x 3 = 2 ⋅ 0 3 = 0

Então nossa inequação se torna:

0 < l i m x → 0   2 x 3 ⋅ cos ⁡ x 2 < 0

Amigas e amigos, o Teorema Sanduíche diz que se o limite oscila entre 0 e 0 , então o limite só pode ser igual a 0 :

l i m x → 0   2 x 3 ⋅ cos ⁡ x 2 = 0

Chegamos ao fim de mais uma questão com o limite lindinho através do Teorema do Sanduíche!

Resposta

b )         0

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