Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Para cada um dos itens a seguir, mostre se o limite existe ou não. Determine o limite caso exista e justifique suas respostas.

lim x , y → 0 , 1 ⁡ x 2 x + 1 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2

Passo 1

Cara, tá bem? Vamos começar reescrevendo esse cara

lim x , y → 0,1 ⁡ x 3 + x 2 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2 = lim x , y → 0,1 ⁡ x 3 x 2 + y - 1 2 + 1 = lim x , y → 0,1 ⁡ x x 2 x 2 + y - 1 2 + 1

Repara que a gente tem no limite o termo

x 2 x 2 + y - 1 2

E por que ele é interessante? Porque a gente pode dizer que

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y - 1 2

Isso porque x 2 é sempre positivo, e y - 1 2 também. Vamos dividir tudo por x 2 + y - 1 2 :

0 ≤ x 2 x 2 + y - 1 2 ≤ 1

Ihhh, olha só esse termo está entre 0 e 1! Isso é uma dica para a gente tentar o teorema do confronto!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos deixar essa função do meio igual a função do nosso limite. Tudo que a gente precisa fazer é multiplicar todos os termos por x :

0 ≤ x 3 x 2 + y - 1 2 ≤ x

Depois somar 1 dos dois lados

1 ≤ x 3 x 2 + y - 1 2 + 1 ≤ x + 1

Rearrumando

1 ≤ x 3 + x 2 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2 ≤ x + 1

Aí aplicando limite x , y → 0 , 1 dos dois lados:

lim x , y → 0 , 1 ⁡ 1 ≤ lim x , y → 0 , 1 ⁡ x 3 + x 2 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2 ≤ lim x , y → 0 , 1 ⁡ x + 1

1 ≤ lim x , y → 0,1 ⁡ x 3 + x 2 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2 ≤ 1

Aí pelo teorema do confronto

lim x , y → 0,1 ⁡ x 3 + x 2 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2 = 1

Arrasamos!

Resposta

1

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