Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – Volume 2, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2001, p. 169 - 4

Calcule

lim h , k 0,0 f x + h ,   y + k - f x , y - 2 x h - k h , k

onde f x , y = x 2 + y

Passo 1

Sabendo que f x , y = x 2 + y , vamos calcular primeiro o termo f x + h ,   y + k da expressão acima:

f x + h ,   y + k = x + h 2 + y + k

Substituindo na expressão:

f x + h ,   y + k - f x , y - 2 x h - k h , k = x + h 2 + y + k - x 2 - y - 2 x h - k h 2 + k 2

O que dá:

x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 - 2 x h h 2 + k 2 = h 2 h 2 + k 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tentando calcular o limite, caímos numa indeterminação 0 0 . Então vamos tentar limitar alguma coisa pra aplicar o teorema do sanduíche.

Quando se tem vários termos ao quadrado, é sempre bom começar assim:

0 h 2 h 2 + k 2

Mas no limite tem uma raiz, então vamos tirar a raiz disso:

0 h h 2 + k 2

Cuidado que h 2 = h , o que é h se h for negativo, então não se esqueça do módulo! ;)

Passo 3

Agora dividindo tudo por h 2 + k 2 :

0 h h 2 + k 2 1

Isso está bem parecido com a expressão dentro do nosso limite, estamos quase lá!

Agora temos 2 casos, primeiramente o caso h > 0 :

Multiplicando tudo por h , podemos manter os sinais da inequação:

0 h h h 2 + k 2 h

0 h 2 h 2 + k 2 h  

Aplicando o limite:

lim h ,  k 0,0 0 lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 lim h , k 0,0 h = 0

Logo,

lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 = 0

Passo 4

Caso h < 0 :

Não vai mudar grande coisa, a diferença é que dessa vez vamos multiplicar a inequação por - h , que é positivo:

0 - h h h 2 + k 2 - h

Como h < 0 , temos - h h = h 2 , assim:

lim h , k 0,0 0 lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 lim h , k 0,0 - h = 0

Da mesma forma, obtemos

lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 = 0

Passo 5

Na verdade, até temos um terceiro caso, h = 0 :

Mas bom, fica evidente que também vai dar zero, a inequação ficaria:

0 h 2 h 2 + k 2 0

lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 = 0

Observação: depois de cair na inequação

0 h h 2 + k 2 1

poderíamos diretamente aplicar o teorema do anulamento e dizer que essa expressão é limitada, e que lim h , k 0,0 h = 0 , qualquer que seja o sinal de h , logo:

lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 = 0

Resposta

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