Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2018, Questão 2

Calcule o seguinte limite, caso exista:

lim x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 4 sin x 2 y 3 x 2 + y 2

Passo 1

Primeiramente, respira.

Já dá pra ver se cara que se tentarmos simples substituição vai dar ko porque tem x e y multiplicando em cima e sendo somados em baixo, então vai ficar indeterminação 0 0 .

Assim, vamos buscar outra forma de resolver esse limite:

lim x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 4 sin x 2 y 3 x 2 + y 2

E a ideia vai ser a gente usar o teorema do sanduiche a parte

x y 2 x 2 + y 4

E provar que o limite disso vai a zero e depois a gente diz que esse limite todão aí é de uma função cujo limite vai a zero com uma função que é limitada (que é a função seno), daí, pelo teorema do anulamento, o limite todo é zero.

Beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, então vamos ao teorema do sanduba na nossa primeira parte.

x y 2 x 2 + y 4

Vamos tentar limitar essa função aí. Vamos começar assim:

y 2 y 4

y 2 x 2 + y 4

0 y 2 x 2 + y 4

Dividindo tudo por x 2 + y 4 :

0 y 2 x 2 + y 4 1

Mas ainda tá faltando um x aí né?! Então vamos multiplicar tudo por x :

0 x y 2 x 2 + y 4 x

E pronto, limitamos a função.

Passo 3

Agora chegou a hora de usar o sanduiche.

Como temos zero de um lado, se a gente calcular o limite do que está do outro lado e der zero também, significa que o limite do que tá no meio é zero.

E, pra nossa alegria

lim x , y - 0,0 x = 0

Logo, pelo teorema do sanduiche,

lim x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 4 = 0

Passo 4

Chegamos onde a gente queria então.

Esse limite aqui

lim x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 4 sin x 2 y 3 x 2 + y 2

É nada mais nada menos do que o produto de uma função cujo limite vai a zero (que é essa primeira ai, que a gente acabou de provar pelo teorema do sanduiche) com uma função limitada (que é a nossa querida função seno).

Assim, pelo teorema do anulamento,

lim x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 4 sin x 2 y 3 x 2 + y 2 = 0

Resposta

lim x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 4 sin x 2 y 3 x 2 + y 2 = 0

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