USP, Cálculo 2, P1 - 2018, Questão 2
Calcule o seguinte limite, caso exista:
Passo 1
Primeiramente, respira.
Já dá pra ver se cara que se tentarmos simples substituição vai dar ko porque tem e multiplicando em cima e sendo somados em baixo, então vai ficar indeterminação .
Assim, vamos buscar outra forma de resolver esse limite:
E a ideia vai ser a gente usar o teorema do sanduiche a parte
E provar que o limite disso vai a zero e depois a gente diz que esse limite todão aí é de uma função cujo limite vai a zero com uma função que é limitada (que é a função seno), daí, pelo teorema do anulamento, o limite todo é zero.
Beleza?
Passo 2
Show, então vamos ao teorema do sanduba na nossa primeira parte.
Vamos tentar limitar essa função aí. Vamos começar assim:
Dividindo tudo por :
Mas ainda tá faltando um aí né?! Então vamos multiplicar tudo por :
E pronto, limitamos a função.
Passo 3
Agora chegou a hora de usar o sanduiche.
Como temos zero de um lado, se a gente calcular o limite do que está do outro lado e der zero também, significa que o limite do que tá no meio é zero.
E, pra nossa alegria
Logo, pelo teorema do sanduiche,
Passo 4
Chegamos onde a gente queria então.
Esse limite aqui
É nada mais nada menos do que o produto de uma função cujo limite vai a zero (que é essa primeira ai, que a gente acabou de provar pelo teorema do sanduiche) com uma função limitada (que é a nossa querida função seno).
Assim, pelo teorema do anulamento,