Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Calcule os seguintes limites, caso existam:

b) lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 x 2 + y 2 - 4 y + 4

Passo 1

  1. Substituindo:

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 x 2 + y 2 - 4 y + 4 = 0 0

Então, devemos buscar um novo método para verificar esse limite.

Passo 2

Ajeitando esse limite:

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 x 2 + y 2 - 4 y + 4 = lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 + y - 2 2 =

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2 lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2

Passo 3

Perceba que:

lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 = 0

Agora, vamos calcular

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2

É notório que:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y - 2 2

Ajeitando

0 ≤ x 2 x 2 + y - 2 2 ≤ 1

Tomando os limites:

0 ≤ lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2 ≤ 1

Ou seja, o termo acima é limitado.

Passo 4

Como 0 ≤ lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2 ≤ 1

E

lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 = 0

Então, pelo teorema do anulamento:

lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 x 2 + y - 2 2 lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 = 0

Resposta

b) lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 x 2 + y 2 - 4 y + 4 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Sabendo que cos ⁡ 1 y ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ x cos ⁡ 1 y Justifique sua resposta.
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = x 3 - x y 2 x 2 + y 2
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = 2 x x 2 + x + y 2
Sabendo que sen ⁡ 1 x ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ y sen ⁡ 1 x Justifique sua resposta.
Releia o Exemplo 5. Substitua m = tg θ na fórmula f x , y ​ y = m x = 2 m 1 + m 2 E simplifique o resultado para mostrar como o valor de f varia de acordo com o ângulo de inclinação da retaUtilize a f