Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 30

Considere a função

f x ,   y = 4 x y - 1 2 x 2 + y - 1 2 + 2 x - 1 y x - 1 2 + y 2

para todo x ,   y ≠ 1 ,   0 e x ,   y ≠ 0 ,   1 . O valor do limite lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ f x ,   y é

a) - 1 .

b) 0 .

c) - 2 .

d) 2 .

e) inexistente.

Passo 1

Eai pessoal, beleza? Bora tentar calcular esse limite?

Queremos calcular o limite:

lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ 4 x y - 1 2 x 2 + y - 1 2 + 2 x - 1 y x - 1 2 + y 2

Note que quando x → 0 e y → 1 , o segundo termo tende a

2 x - 1 y x - 1 2 + y 2 → 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 1 1 + 1 = - 1

Quando olhamos para o primeiro termo, vemos que ele fica numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Por uma questão de simplicidade, vamos chamar

g x ,   y = 4 x y - 1 2 x 2 + y - 1 2

Assim,

f x ,   y = g x ,   y + 2 x - 1 y x - 1 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos olhar para g ( x ,   y ) :

g x ,   y = 4 x ⋅ y - 1 2 x 2 + y - 1 2

Note que

y - 1 2 ≤ x 2 + y - 1 2

Portanto,

y - 1 2 x 2 + y - 1 2 ≤ 1

4 x → 0 quando x → 0 . Assim, g é o produto de uma função que tende a zero por outra limitada. Sempre que isso acontece o limite existe e é zero:

lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ g x ,   y = 0

Como

f x ,   y = g x ,   y + 2 x - 1 y x - 1 2 + y 2

e

2 x - 1 y x - 1 2 + y 2 → - 1

Logo,

lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ f x ,   y = lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ g x ,   y + lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ 2 x - 1 y x - 1 2 + y 2 = 0 - 1 = - 1

Pode assinalar a alternativa A sem medo 😉

Resposta

Alternativa A.

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