Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2018.1, Questão 1c

Determine o limite, se existir, ou prove que o limite não existe:

lim x , y 0,0 x y x 2 + y 2

Não é permitido usar coordenadas polares.

Passo 1

Precisamos calcular ou mostrar que esse limite aí de baixo não existe:

lim x , y 0,0 f ( x , y )

lim x , y 0,0 x y x 2 + y 2

Tentando por simples substituição, chegamos a indeterminação 0 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, precisamos sair dessa indeterminação então.

Quando ele fala “ou prove que o limite não existe” minha mão já coça pra testar por caminhos diferentes porque já tenho a tendência a achar que esse limite não vai existir.

Mas aí, antes disso, eu tento observar na expressão do limite se vejo algum indício de que o limite possa não existir.

E nesse caso eu não to vendo

Então, a próxima coisa que eu tento, é o teorema do sanduíche.

Vamos tentar?

Temos que tentar limitar a expressão desse limite.

Olhando só pro denominador, temos

x 2 + y 2

Isso é algo que sabemos que tem que ser sempre maior ou igual a zero:

x 2 + y 2 0

Assim

x y 1 x 2 + y 2 x y 0

x y x 2 + y 2 0

Passo 3

Além disso, a raiz de um número ao quadrado, é sempre menor ou igual ao módulo do número. Mas, por outro lado, como temos a raiz de dois números ao quadrado somados, essa raiz vai ser sempre maior ou igual que o módulo de apenas um desses números (porque de um lado temos o número somado com alguma coisa e do outro, temos apenas o número, sem somar com nada). Assim

x 2 + y 2 | x |

Assim, se dividirmos x y por algo que é sempre maior ou igual a | x | , temos

x y x 2 + y 2 x y x y

Passo 4

Juntando tudo isso que encontramos aí em cima, temos que

0 x y x 2 + y 2 y

Dessa forma, nossa função é limitada e, pelo teorema do sanduíche, temos

l i m x , y 0,0 0 l i m x , y 0,0 x y x 2 + y 2 l i m x , y 0,0 y

0 l i m x , y 0,0 x y x 2 + y 2 0

Assim

l i m x , y 0,0 x y x 2 + y 2 = 0

Resposta

l i m x , y 0,0 x y x 2 + y 2 = 0

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas