Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.86 - 2a(modificado)

Seja

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2

Calcule

lim x , y ( 0,0 ) f ( x , y )

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0 2 0 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Observe que

x 2 y 2 x 2 + y 2 = x 2 x 2 + y 2 y 2 = y 2 x 2 + y 2 x 2

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 3

Colocar a expressão entre extremos:

0 x 2 x 2 + y 2

0 x 2 x 2 + y 2 1

Ou, se preferir, analogamente, temos que:

0 y 2 x 2 + y 2 1

Passo 4

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

0 x 2 x 2 + y 2 1

Temos que multiplicar por y 2 :

Como y 2 > 0 , não precisamos nos preocupar com o sinal:

0 y 2 x 2 x 2 + y 2 ( y 2 ) 1 y 2

0 x 2 y 2 x 2 + y 2 f ( x , y ) y 2

Passo 5

Tirar os limites:

l i m x , y ( 0,0 ) 0 l i m x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 l i m x , y ( 0,0 ) y 2

Passo 6

Calcular os limites dos extremos:

l i m x , y ( 0,0 ) 0 = 0

l i m x , y ( 0,0 ) y 2 = 0

Passo 7

Substituir na desigualdade:

0 l i m x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 0

Logo:

l i m x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

Resposta

l i m x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

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