Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2015.1, Questão ME4

O valor do limite

lim x , y 0,0 x 2 sen y x 2 + y 4  

é

(a) 2.

(b) o limite não existe

(c) 0.

(d)

(e) 1.

Passo 1

Vamos primeiro tentar substituir os valores x , y = ( 0,0 ) diretamente:

0 2 sen 0 0 2 + y 4

Claramente não deu certo, caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, então vamos tentar aplicar o Teorema do Sanduíche! :)

Vamos dar uma olhada na expressão do limite:

x 2 sen y x 2 + y 4  

A gente tem que limitar alguma coisa, criando uma inequação. A gente poderia aproveitar esse seno, mas geralmente ele é mais interessante quando o limite é no infinito. E saca, aqui a gente tem algo que parece bem promissor:

0 x 2 x 2 + y 4

Né? Porque y 4 0 .

Dividindo tudo por x 2 + y 4 :

0 x 2 x 2 + y 4 x 2 + y 4 x 2 + y 4 = 1

Opa! Agora só falta multiplicar por sen ( y ) . Mas temos que tomar cuidado com os sinais da inequação!

  • Se sen ( y ) 0 :
  • 0 x 2 sen y x 2 + y 4   sen ( y )

    E como lim ( x , y ) 0,0 sen ( y ) = 0 , pelo teorema do Sanduíche:

    lim x , y 0,0 x 2 sen y x 2 + y 4   = 0

  • E se sen ( y ) 0 :

0 x 2 sen y x 2 + y 4   sen ( y )

E não vai mudar o resultado: analogamente obtemos que o limite dá zero! :)

Resposta

Alternativa (c)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas