Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica

Considere um cilindro oco de material isolante com raio da parede interna 0,3 m. Sobre uma de suas extremidades é apoiado um disco fino de alumínio de massa 1 kg com raio de 0,301 m (considere-o bidimensional). O disco se encontra à temperatura de 150° C e é colocado em contato com gelo a 0° C. (Coeficiente de dilatação linear: α A l = 2,4 × 10 - 5   ° C - 1 ; despreze variações de temperatura do cilindro.) Determine:

a) A variação de temperatura que o disco deve sofrer para que se encaixe no tubo.

b) A quantidade de gelo que é preciso colocar em contato com o disco para que este sofra a variação de temperatura calculada no item a).

c) A variação de entropia ∆ S do sistema gelo+disco até o momento do encaixe.

Passo 1

a) Essa questão envolve dilatação térmica! Para dilatação térmica numa área, nós usamos a fórmula:

A = A 0 ( 1 + β ∆ T )

Vamos substituir então a área inicial e a área final. A área final tem que ser igual à área da base do cilindro!

Lembrando também que o coeficiente de dilatação superficial (na área) é igual a duas vezes o coeficiente de dilatação linear, que ele deu.

Então:

π ( 0,3 ) 2 = π ( 0,301 ) 2 ( 1 + 2 × 2,4 × 10 - 5 ∆ T )

Fazendo essa conta:

∆ T ≅ - 138,2   K

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Passo 2

b) Aqui a gente vai usar a transferência de calor! O calor do gelo mais o calor do disco tem que ser zero! Então:

Q g e l o + Q d i s c o = 0

O calor do gelo vai ser um calor latente, porque ele já está a 0 °   C , então vai mudar de fase pra ceder calor.

Q g e l o = m g e l o L F

E o calor latente de fusão da água é:

L F = 333   k J / k g

Então:

Q g e l o = 333000   m g e l o

O calor do disco vai ser sensível, ele muda de temperatura sem mudar de fase.

Q d i s c o = m d i s c o c d i s c o ∆ T

Repare aí que o ∆ T é o mesmo que calculamos no item anterior! O c d i s c o vai ser o calor específico do alumínio e a massa do disco já foi dada no problema. Então:

Q d i s c o = 1 × 900 × ( - 138,2 )

Substituindo:

333000   m g e l o + 900 × - 138,2 = 0

m g e l o = 0,3735   k g

m g e l o = 373,5   g

Passo 3

c) A variação de entropia do sistema vai ser:

∆ S = ∆ S g e l o + ∆ S d i s c o

Para o gelo:

∆ S g e l o = ∫ d Q g e l o T = Q g e l o T

Deu pra tirar da integral assim porque a temperatura é constante durante o processo do gelo derreter, ok? Se não fosse constante não poderia fazer isso, como a gente vai ver.

∆ S g e l o =   m g e l o L F T = 333000 × 0,3735 273

∆ S g e l o = 455,59   J / K

Para o disco:

∆ S d i s c o = ∫ d Q d i s c o T = ∫ m d i s c o c d i s c o d T T

∆ S d i s c o = m d i s c o c d i s c o ln ⁡ T f T i

E a temperatura inicial do disco vai ser:

T i = 150 ° C = 423   K

E a final:

T f = T i - 138,2

T f = 284,8   K

Então:

∆ S d i s c o = 1 × 900 × ln ⁡ 284,8 423

∆ S d i s c o = - 356,02   J / K

A variação de entropia do sistema vai ser então:

∆ S = ∆ S g e l o + ∆ S d i s c o = 455,59 - 356,02  

∆ S = 99,56   J / k

Resposta

a) ∆ T ≅ - 138,2   K

b) m g e l o = 373,5   g

c) ∆ S = 99,56   J / k

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