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Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica

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Enunciado

Considere um recipiente de paredes adiabáticas, dividido ao meio por uma membrana também adiabática.

No começo, um lado do recipiente contém um gás com capacidade térmica C 1 a temperatura T 1 , e o outro lado contém um gás com capacidade térmica C 2 a temperatura T 2 .

Quando a membrana é substituída por outra condutora térmica, os gases trocam calor até atingirem a temperatura de equilíbrio T f . Considere T 1 > T f > T 2 .

Calcule, em termos de C 1 , T 1 , C 2 , T 2 , a temperatura de equilíbrio T f e a variação de entropia do sistema.

  1. T f = C 1 T 1 - C 2 T 2 C 1 - C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 - C 1 ln ⁡ T 1 T f
  2. T f = C 1 T 1 - C 2 T 2 C 1 - C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 + C 1 ln ⁡ T 1 T f
  3. T f = C 1 T 1 + C 2 T 2 C 1 + C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 + C 1 ln ⁡ T 1 T f
  4. T f = C 1 T 1 + C 2 T 2 C 1 + C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 - C 1 ln ⁡ T 1 T f
  5. T f = C 1 T 1 + C 2 T 2 C 1 - C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 + C 1 ln ⁡ T 1 T f

Passo 1

Vamos calcular a temperatura de equilíbrio:

As quantidades de calor trocadas entre os gases deve ser zero, pela conservação de energia:

Q 1 + Q 2 = 0

Como Q 1 = C 1 Δ T 1 e Q 2 = C 2 Δ T 2 :

C 1 Δ T 1 + C 2 Δ T 2 = 0

Mas

Δ T 1 = T f - T 1

Δ T 2 = T f - T 2

Substituindo:

C 1 T f - T 1 + C 2 T f - T 2 = 0

⇒ C 1 T f - C 1 T 1 + C 2 T f - C 2 T 2 = 0

⇒ C 1 + C 2 T f = C 1 T 1 + C 2 T 2

⇒ T f = C 1 T 1 + C 2 T 2 C 1 + C 2

Por aí, já eliminamos as letras (a), (b) e (e).

Passo 2

Calculando variação de entropia:

Troca de calor é um processo irreversível, mas podemos considerar uma troca de calor reversível de cada gás com um reservatório térmico a uma temperatura constante T f .

Como a entropia é uma função de estado, o valor de Δ S não depende do caminho. Logo, esse valor que encontrarmos por um processo reversível é o mesmo para o processo irreversível.

A variação de entropia do sistema é dada por:

Δ S s i s t = Δ S 1 + Δ S 2

Passo 3

Calculando Δ S 1 :

Δ S 1 = ∫ d Q T

Sabemos que:

Q 1 = C 1 Δ T

Na forma diferencial:

d Q = C 1 d T

Substituindo na integral:

Δ S 1 = ∫ d Q T

⇒ Δ S 1 = ∫ C 1 d T T = C 1 ∫ d T T

Logo:

Δ S 1 = C 1 ln ⁡ T f T 1

O cálculo de Δ S 2 é totalmente análogo.

Portanto:

Δ S 2 = C 2 ln ⁡ T f T 2

Passo 4

Substituindo o que encontramos:

Δ S s i s t = Δ S 1 + Δ S 2

⇒ Δ S s i s t = C 1 ln ⁡ T f T 1 + C 2 ln ⁡ T f T 2

Opa! Não tem essa resposta nas alternativas (c) e (d)...

Mas note que temos ln ⁡ T 1 T f em vez de ln ⁡ T f T 1 .

Lembrando da propriedade de logaritmos:

ln ⁡ T f T 1 = - ln ⁡ T 1 T f

Logo:

Δ S s i s t = C 1 ln ⁡ T f T 1 + C 2 ln ⁡ T f T 2

⇒ Δ S s i s t = - C 1 ln ⁡ T 1 T f + C 2 ln ⁡ T f T 2

⇒ Δ S s i s t = C 2 ln ⁡ T f T 2 - C 1 ln ⁡ T 1 T f

Agora sim! Alternativa (d).

Resposta

Alternativa (d).

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