Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica

Quantidade de calor, Segunda lei da termodinâmica

Considere um recipiente de paredes adiabáticas, dividido ao meio por uma membrana também adiabática.

No começo, um lado do recipiente contém um gás com capacidade térmica C 1 a temperatura T 1 , e o outro lado contém um gás com capacidade térmica C 2 a temperatura T 2 .

Quando a membrana é substituída por outra condutora térmica, os gases trocam calor até atingirem a temperatura de equilíbrio T f . Considere T 1 > T f > T 2 .

Calcule, em termos de C 1 , T 1 , C 2 , T 2 , a temperatura de equilíbrio T f e a variação de entropia do sistema.

  1. T f = C 1 T 1 - C 2 T 2 C 1 - C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 - C 1 ln ⁡ T 1 T f
  2. T f = C 1 T 1 - C 2 T 2 C 1 - C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 + C 1 ln ⁡ T 1 T f
  3. T f = C 1 T 1 + C 2 T 2 C 1 + C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 + C 1 ln ⁡ T 1 T f
  4. T f = C 1 T 1 + C 2 T 2 C 1 + C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 - C 1 ln ⁡ T 1 T f
  5. T f = C 1 T 1 + C 2 T 2 C 1 - C 2 , Δ S = C 2 ln ⁡ T f T 2 + C 1 ln ⁡ T 1 T f

Passo 1

Vamos calcular a temperatura de equilíbrio:

As quantidades de calor trocadas entre os gases deve ser zero, pela conservação de energia:

Q 1 + Q 2 = 0

Como Q 1 = C 1 Δ T 1 e Q 2 = C 2 Δ T 2 :

C 1 Δ T 1 + C 2 Δ T 2 = 0

Mas

Δ T 1 = T f - T 1

Δ T 2 = T f - T 2

Substituindo:

C 1 T f - T 1 + C 2 T f - T 2 = 0

⇒ C 1 T f - C 1 T 1 + C 2 T f - C 2 T 2 = 0

⇒ C 1 + C 2 T f = C 1 T 1 + C 2 T 2

⇒ T f = C 1 T 1 + C 2 T 2 C 1 + C 2

Por aí, já eliminamos as letras (a), (b) e (e).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando variação de entropia:

Troca de calor é um processo irreversível, mas podemos considerar uma troca de calor reversível de cada gás com um reservatório térmico a uma temperatura constante T f .

Como a entropia é uma função de estado, o valor de Δ S não depende do caminho. Logo, esse valor que encontrarmos por um processo reversível é o mesmo para o processo irreversível.

A variação de entropia do sistema é dada por:

Δ S s i s t = Δ S 1 + Δ S 2

Passo 3

Calculando Δ S 1 :

Δ S 1 = ∫ d Q T

Sabemos que:

Q 1 = C 1 Δ T

Na forma diferencial:

d Q = C 1 d T

Substituindo na integral:

Δ S 1 = ∫ d Q T

⇒ Δ S 1 = ∫ C 1 d T T = C 1 ∫ d T T

Logo:

Δ S 1 = C 1 ln ⁡ T f T 1

O cálculo de Δ S 2 é totalmente análogo.

Portanto:

Δ S 2 = C 2 ln ⁡ T f T 2

Passo 4

Substituindo o que encontramos:

Δ S s i s t = Δ S 1 + Δ S 2

⇒ Δ S s i s t = C 1 ln ⁡ T f T 1 + C 2 ln ⁡ T f T 2

Opa! Não tem essa resposta nas alternativas (c) e (d)...

Mas note que temos ln ⁡ T 1 T f em vez de ln ⁡ T f T 1 .

Lembrando da propriedade de logaritmos:

ln ⁡ T f T 1 = - ln ⁡ T 1 T f

Logo:

Δ S s i s t = C 1 ln ⁡ T f T 1 + C 2 ln ⁡ T f T 2

⇒ Δ S s i s t = - C 1 ln ⁡ T 1 T f + C 2 ln ⁡ T f T 2

⇒ Δ S s i s t = C 2 ln ⁡ T f T 2 - C 1 ln ⁡ T 1 T f

Agora sim! Alternativa (d).

Resposta

Alternativa (d).

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