Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica

Ciclos termodinâmicos, Segunda lei da termodinâmica

Um engenheiro propôs à sua empresa construir uma máquina térmica onde um gás ideal monoatômico sofre os processos indicados no diagrama da figura:

1 → 2 : processo isotérmico

2 → 3 : processo adiabático

3 → 1 : processo adiabático

A proposta foi rejeitada.

Quais das afirmativas abaixo são justificativas corretas para esta rejeição:

  1. Esta máquina não funciona pois viola a segunda lei da termodinâmica.
  2. Esta máquina não interessa pois tem uma eficiência muito baixa.
  3. O ciclo é inconsistente. Uma das etapas indicadas não pode ocorrer.
  4. Esta máquina não funciona pois viola a primeira lei da termodinâmica.

  1. I e III
  2. I e IV
  3. I
  4. IV
  5. II e IV

Passo 1

Vamos analisar essas afirmativas.

Afirmativa I:

Violar a segunda lei da termodinâmica em um ciclo significa que todo o calor fornecido é convertido em trabalho (sem saída de calor).

Ou seja:

Q entra = W + Q sai

Violar a segunda lei significa que Q sai = 0 .

Vamos investigar isso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aplicar a Primeira Lei em cada processo:

Processo 1 - 2 :

Q 12 = Δ U 12 + W 12

Como esse processo é isotérmico, então Δ U 12 = 0 .

Logo:

Q 12 = W 12

Processo 2 - 3 :

Q 23 = Δ U 23 + W 23

Como esse processo é adiabático, então Q 23 = 0 .

Logo:

W 23 = - Δ U 23

Processo 3 - 1 :

Como esse processo também é adiabático, chegamos ao mesmo resultado:

W 31 = - Δ U 31

Passo 3

Agora podemos calcular o calor que entra e o trabalho realizado no ciclo.

Calor que entra:

Q entra = Q 12 = W 12

Trabalho do ciclo:

W = W 12 + W 23 + W 31

O trabalho W 12 é calculado da seguinte forma:

W 12 = n R T 1 ln ⁡ V 2 V 1 > 0

pois o processo é isotérmico.

Os trabalhos W 23 e W 31 são calculados dessa forma:

W 23 = - Δ U 23 = - g 2 n R Δ T 23

W 31 = - Δ U 31 = - g 2 n R Δ T 31

Como o gás é monoatômico, g = 3 .

Somando essas duas parcelas:

W 23 + W 31 = - 3 2 n R T 3 - T 2 - 3 2 n R T 1 - T 3

⇒ W 23 + W 31 = - 3 2 n R T 3 - T 2 + T 1 - T 3

⇒ W 23 + W 31 = - 3 2 n R T 1 - T 2

Como T 1 = T 2 (processo isotérmico):

W 23 + W 31 = 0

Logo:

W = W 12 + W 23 + W 31

⇒ W = W 12

Além disso, vimos que

Q e = W 12

Então Q e = W .

Substituindo na Primeira Lei do ciclo:

Q e = W + Q s

⇒ Q s = 0

Isso viola a segunda lei da termodinâmica.

Pois, nesse caso, teríamos um rendimento igual a:

η = 1 - Q s Q e

⇒ η = 100 %

E isso não está de acordo com a segunda lei!

Outra forma de pensar é que a variação de entropia desse ciclo é nula (por que a entropia é uma função de estado)

Δ S c i c l o = 0

Como só há troca de calor na etapa 1 → 2 e nessa etapa o gás absorve calor da fonte quente, temos que a variação de entropia das fontes só ocorre nesse processo. Como

Δ S = ∫ d Q T

Então nesse processo 1 → 2 a fonte quente tem a sua entropia diminuída, ou seja, no ciclo a variação de entropia é negativa

Δ S f o n t e s

A variação de entropia do universo é dada por

Δ S u n i v e r s o = Δ S f o n t e s + Δ S c i c l o

Como um desses caras é negativo e o outro é nulo temos que

Δ S u n i v e r s o < 0

O que viola (de novo) a segunda lei! o/

Afirmativa I é verdadeira.

Pelas alternativas, eliminamos as letras (d) e (e).

Pelas que sobraram, já podemos ver que a afirmativa II é falsa. Então basta analisar as afirmativas III e IV.

Passo 4

Mas se você quiser, vamos analisar a afirmativa II:

Acabamos de ver que a eficiência dessa máquina é 100 % .

Então essa eficiência não é baixa de jeito nenhum!

Afirmativa II falsa, como já sabíamos.

Passo 5

Afirmativa III:

O processo adiabático que estamos considerando é reversível.

Isto é, podemos caminhar sobre a curva adiabática em um sentido ou em outro.

No ciclo, estamos vendo duas curvas diferentes para um mesmo processo adiabático!

A curva 3 - 1 , na verdade, deveria ser igual à curva 3 - 2 , retornando pelo mesmo caminho, já que o processo é reversível.

Se você não acredita, basta lembrar que num processo adiabático a pressão e o volume têm que obedecer

P V γ = c t e

Se você aplicar isso no processo 2 → 3

P 2 V 2 γ = P 3 V 3 γ

E se aplicar no processo 3 → 1

P 3 V 3 γ = P 1 V 1 γ

Juntando a gente teria

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

Só que o processo 1 → 2 é um processo isotérmico que obedece

P 1 V 1 = P 2 V 2

Só dá pra obedecer essas duas equações se γ fosse 1 ! Só que o γ pra gás monoatômico é 5 / 3 , logo esse negócio aí não pode tá certo!!!

Portanto, essa etapa não pode ocorrer!

Afirmativa III correta.

Passo 6

Afirmativa IV:

Perceba que aplicamos a Primeira Lei nos processos e no ciclo como um todo.

Embora esse ciclo tenha violado a Segunda Lei, não teve nenhum problema com a Primeira Lei.

Então, a afirmativa IV é falsa!

Logo, as afirmativas corretas são I e III.

Resposta

Alternativa (a).

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