Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica

UERJ – Lista para 2ª Prova

Um cubo de gelo de 10   g a - 10 ° C é colocado em um lago cuja temperatura é de 15 ° C . “Calcule a variação na entropia do sistema cubo-lago quando o cubo de gelo atingir o equilíbrio térmico com o lago”. O calor específico do gelo é   2220   J / kg⋅ K   . (Sugestão: O gelo afetará a temperatura do lago?).

Dados:

- calor específico do gelo c g =   0,530   cal/g⋅°C   =   2220   J/kg⋅K .

-calor específico da água c a   = 1,0   cal/g⋅°C   =   4190   J/kg⋅K .

- calor latente de fusão do gelo L F = 79,5   cal/g   =   333   kJ /kg .

Passo 1

Bom galera, nessa questão nós estamos interessados em saber a variação total de entropia de um sistema, no caso, o sistema gelo-lago. Se liga ai então nas equações que vamos usar:

  • Variação de entropia: ∆ S = ∫ d Q T
  • Quantidade de calor: Q = m c ∆ T
  • Calor Latente: Q = m L

É isso! Mas antes de começarmos, temos que dar atenção a algumas informações importantes do enunciado:

  • 1 ° : A temperatura do lago não muda. Isso acontece porque o lago é um corpo muito mais massivo que o cubinho de gelo.
  • 2 ° : O cubo de gelo começa sólido, passa por um processo de fusão e depois, como água, se aquece até 15 ° .   (Já que a temperatura do lago não muda e eles precisam atingir o equilíbrio térmico).

Obs.: Vamos usar as constantes que estão em unidades do S I   (   kg ,   K ,   e t c ) .Isso facilita a no final das contas ;D.

Partiu resolver essa questão, então! (:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos focar nossa atenção primeiramente no cubo de gelo:

Bom, já sabemos que o cubo vai passar por três “estágios”: Gelo, fusão e água. Vamos calcular a variação de entropia de cada um?

Primeiramente o gelo está sendo aquecido pelo lago. A variação de entropia do gelo vai ser dada por:

∆ S gelo = ∫ d Q T

Só que, no caso, d Q vale:

d Q = m ⋅ c g ⋅ d T

Logo:

∆ S gelo = ∫ d Q T = ∫ m ⋅ c g ⋅ d T T = m c g ∫ d T T

∆ S gelo = m c g ln ⁡ T f T i

O gelo é aquecido - 10 ° C até 0 ° C , então essas são sua temperatura inicial e final. Convertendo essas temperaturas pra Kelvin e substituindo na equação, teremos:

T i = T c + 273 = - 10 + 273 = 263 K

T f = T c + 273 = 273 K

∆ S gelo = m c g ln ⁡ T f T i = 10 ⋅ 10 - 3 ⏟ 10   g = 10 ⋅ 10 - 3 kg ⋅ 2220 ⋅ ln ⁡ 273 263 ≅ 0,82

∆ S gelo = 0,82

Bom, no segundo estágio o gelo é fundido. Esse processo acontece à temperatura constante e o calor trocado é o calor latente. Logo:

∆ S fusão = ∫ d Q T = 1 T ∫ d Q = Q T = Q 273

Q = m L fusão = 10 ⋅ 10 - 3 ⋅ 333 ⋅ 10 3 = 3330   J

∆ S fusão = Q 273 = 3330 273 = 12,2

E no terceiro estágio, parecido com o primeiro, o cubo que agora é feito de água é aquecido de 0 ° C até 15 ° C .A fórmula da variação de entropia é parecida com a do primeiro estágio, mudando apenas o calor específico:

∆ S água = m c a ln ⁡ T f T i

Com as temperaturas em Kelvin:

T i = 273   K

T f = 273 + 15 = 288   K

Logo, a variação de entropia será:

∆ S água = m c a ln ⁡ T f T i = 10 ⋅ 10 - 3 ⋅ 4190 ⋅ ln ⁡ 288 273

∆ S água = 2,24

Pronto! Agora, pra descobrirmos a variação total de entropia do bloco, basta somarmos as parcelas:

∆ S bloco = ∆ S gelo + ∆ S fusão + ∆ S água = 0,82 + 12,20 + 2,24

∆ S bloc o = 15,26   J / K 

Passo 3

Vamos nos concentrar no lago agora. Bom, o caso do lago é mais fácil. A sua temperatura não muda com o processo, então a variação de entropia dele será:

∆ S lago = ∫ d Q T = 1 T ⋅ ∫ d Q = Q T

A temperatura do lago vale 15 ° C , então T = 288   K .

Mas quanto vale Q ? Bom, a primeira lei, a conservação da energia, é respeitada nessa questão, já que nada que contraria isso foi dito. Então, esse calor tem que ser o calor que foi perdido para o cubo de gelo!

Bom, vamos calcular essa quantidade de calor para cada estágio que o cubo passou (lembrando que temos que colocar o sinal de menos no fim, já que o lago perde calor):

Q gelo = m c g ∆ T = 10 ⋅ 10 - 3 ⋅ 2220 ⋅ 273 - 263 = 222   J

Q fusão = m L fusão = 10 ⋅ 10 - 3 ⋅ 333 ⋅ 10 3 = 3330   J

Q água = m c a ∆ T = 10 ⋅ 10 - 3 ⋅ 4190 ⋅ 288 - 273 = 628,5   J

Logo, Q ,a quantidade de calor que o lago perdeu, vale:

Q = - Q gelo + Q fusão + Q água = - 222 + 3330 + 628,5

Q = - 4180,50   J

Então a variação de entropia será:

∆ S lago = Q T = - 4180,50 288

∆ S l ag o = - 14,50   J / K

Passo 4

Agora que temos as variações de entropia do cubo e do lago, podemos calcular a variação total do sistema cubo-lago. Calcular a variação de entropia de um sistema é fácil, basta somarmos a variação de cada parte do sistema. Então:

∆ S cubo-lago = ∆ S cubo + ∆ S lago = 15,26 + - 14,50

∆ S cubo-lago ≅ 0,76   J / K 

E essa é a resposta! Uma dica pra gente checar se a resposta não está errada é lembrar que sempre temos:

∆ S ≥ 0

Resposta

∆ S cubo-lago = 0,76   J / K

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