Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica

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Enunciado

Um recipiente de paredes rígidas e adiabáticas e com capacidade térmica desprezível contém n   moles de um sal de capacidade térmica molar a volume constante dada por C V   ( T   )   =   k T 3 , onde k   é uma constante e T   a temperatura. Inicialmente, o sal está em equilíbrio térmico à temperatura T 0 . Troca-se, então, uma das paredes adiabáticas do recipiente por uma diatérmica e coloca-se o sistema em contato térmico com um reservatório a temperatura 3 T 0 . Observa-se que após algum tempo o sal e o reservatório atingem o equilíbrio térmico. Calcule, neste processo e apenas em termos dos dados do problema.

  1. O calor total Q fornecido pelo reservatório ao sal.
  2. As variações de entropia ∆ S R do reservatório e ∆ S S do sal.
  3. A variação da entropia ∆ S U do universo.

Passo 1

a)

Bom, nós usaríamos, se o C V fosse constante, a fórmula:

Q = n C V ∆ T

Porém, como C V é um função da temperatura, precisamos levar em conta a sua variação. Assim, vamos primeiro considerar uma quantidade infinitesimal de calor:

d Q = n C V T d T

Onde:

C V T = k T 3

Qual será, então, a variação total de calor, ou seja, o calor transferido? Será a integral de d Q nos limites extremos das temperaturas T 0 ,   3 T 0 :

Q = ∫ T 0 3 T 0 n k T 3 d T = n k 3 T 0 4 4 - T 0 4 4 = n k 80 T 0 4 4 = 20 n k T 0 4 > 0

Passo 2

b)

Devemos calcular ∆ S R e ∆ S U .

Vamos começar pela variação de entropia do reservatório: A primeira coisa que você precisa pensar é: Existe variação de temperatura durante a transferência de calor?

A resposta é: Não. Por quê? Bom, porque sempre consideramos um reservatório suficientemente grande para que, mesmo com uma retirada de energia na forma de calor, não haja variações de temperatura no mesmo.

Assim, podemos calcular a variação de entropia do reservatório por:

∆ S = ∫ d Q T = 1 T ∫ d Q = Q R T R

A temperatura do reservatório é 3 T 0 , e o calor é dado por :

Q R = - 20 n k T 0 4

Negativo pois o calor é retirado do reservatório. Assim:

∆ S R = - 20 n k T 0 4 3 T 0 = - 20 n k T 0 3 3 < 0

Passo 3

Agora vamos calcular a variação de entropia do sal. Nesse caso, o sal tem uma variação de temperatura. Assim, temos calcular a variação de entropia por meio de uma integral:

∆ S S = ∫ T 0 3 T 0 d Q T = ∫ T 0 3 T 0 n C V T d T T = ∫ T 0 3 T 0 n k T 3 d T T = ∫ T 0 3 T 0 n k T 2 d T = n k 3 T 0 3 3 - T 0 3 3

∆ S S = n k 27 T 0 3 3 - T 0 3 3 = n k 26 T 0 3 3 > 0

Maior que zero pois o sal recebe o calor.

Passo 4

c)

A variação total do universo vai ser dada pela soma da variação do sal e a do reservatório:

∆ S U = ∆ S S + ∆ S R = - 20 n k T 0 3 3 + 26 n k T 0 3 3 = 6 n k T 0 3 3 = 2 n k T 0 3

Resposta

a)

20 n k T 0 4

b)

∆ S R = - 20 n k T 0 3 3

∆ S S = n k 26 T 0 3 3

c)

∆ S U = 2 n k T 0 3

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