Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Uniforme

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Enunciado

Uma barra isolante e fina de comprimento 2a é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas, de modo que suas extremidades estão em   x = ± a . Ela possui uma carga total Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento. Uma segunda barra, idêntica à primeira e com a mesma carga total Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento, é posicionada sobre o eixo X com suas extremidades em x   =   b   ±   a ,   ( b   >   2 a ) . Determine a força elétrica (módulo, direção e sentido) que a primeira barra exerce sobre a segunda. Sugestão: Divida a segunda barra em elementos infinitesimais de carga e considere a interação entre estes elementos e a primeira barra.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente determinar a força total sobre uma segunda barra carregada (chamaremos de barra B) posicionada ao longo de um eixo na presença de uma primeira barra carregada (chamaremos de barra A). Bem, a gente sabe que, dado um campo elétrico E, uma carga puntiforme sente uma força na presença desse campo dada por

F   =   q E

Mas uma barra não é uma carga puntiforme, não é mesmo? É verdade, mas a gente pode dividir a barra B em infinitésimos e considerar esses pequenos elementos de carga como puntiformes e utilizar a superposição de forças para encontrar a força total, já que, a força total sobre o corpo é a soma das forças em cada elemento

F t o t a l = F 1 + F 2 + . . . + F N

No caso de uma barra contínua, teremos uma integral ao invés de uma soma discreta. Mas antes disso, para calcular a força sobre a barra B, precisamos calcular o campo elétrico gerado pela barra A nas posições ocupadas pelos elementos da barra B. Então vamos lá calcular o campo elétrico!

Passo 2

O módulo do campo elétrico de uma carga puntiforme Q é dado por

E   = 1 4 π ϵ 0 Q r 2  

Onde, ϵ 0 é a permissividade elétrica no vácuo e r é a distância entre a carga geradora do campo e o ponto onde queremos calcular o campo. Como a barra A possui uma densidade de carga uniforme, temos que um pequeno elemento de barra possui um infinitésimo de carga equivalente à

d Q = Q 2 a d x

Onde Q 2 a é a densidade linear de carga e dx é um infinitésimo do comprimento da barra. Como estamos interessados em calcular o campo elétrico em pontos sobre o eixo X, limitarmos nossa análise a ele. Assim, o campo elétrico gerado numa posição x por um elemento de carga da barra A posicionado em x’ é dado por

d E   = 1 4 π ϵ 0 Q 2 a d x ( x - x ' ) 2  

Assim, o módulo do campo elétrico será a soma das contribuições infinitesimais da barra A. Para calcular isso, integramos a expressão acima de -a até a, que é o comprimento do barra:

E ( x )   =   ∫ - a a d E   =   ∫ - a a 1 4 π ϵ 0 Q 2 a d x ' ( x - x ' ) 2 =   1 4 π ϵ 0 Q 2 a ∫ - a a d x ' ( x - x ' ) 2 = 1 4 π ϵ 0 Q 2 a 2 a x ² - a ²

Então, o módulo do campo elétrico em um ponto sobre o eixo horizontal a uma distância x da origem é dado por

E ( x )   = 1 4 π ϵ 0 Q x ² - a ²

Como o campo elétrico tem a direção do vetor separação entre o elemento carregado e o ponto onde o campo é calculado e, como todos os elementos estão sobre o eixo x, bem como o ponto onde calculamos o campo, temos que sua direção é ao longo do eixo x.

Agora, com uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x, podemos calcular a força na barra B! Então bora lá!

Passo 3

A força exercida sobre uma carga puntiforme é simplesmente o produto da carga pelo campo elétrico em sua posição. Dividindo a barra b em infinitésimos dQ, semelhantemente ao que fizemos com a barra A para calcular o campo elétrico, obtemos que um infinitésimo de força sobre esse elemento de carga é

d F   = d Q × E   =   Q 2 a 1 4 π ϵ 0 Q x ² - a ² d x  

Então, a força total sobre a barra B será a soma sobre todos os elementos ao longo de seu comprimento no seu posicionamento: de b-a até b+a, como informado pelo enunciado. Então, a força total é

F   = ∫ b - a b + a d F   = ∫ b - a b + a   1 8 π a ϵ 0 Q ² x ² - a ² d x   = Q ² 8 π a ϵ 0 ∫ b - a b + a d x x ² - a ²

Assim, o módulo da força sobre a barra B é igual à:

F   = Q ² 16 π a ² ϵ 0 l n b b + 2 a - l n b - 2 a b = Q ² 16 π a ² ϵ 0 l n b ² b ² - 4 a ²

Como a força tem a mesma direção do campo elétrico que, sobre todos os pontos da barra B, aponta na direção x, temos que a força que atua na barra B aponta no sentido positivo de x, pois b ² no numerador é maior que b ² - 4 a ² no denominador, o que implica que a razão é maior que 1 e, com isso, o logaritmo é positivo. Isso indica que as barras estão se repelindo, como esperado, visto que são idênticas e, portanto, possuem a mesma carga!

Resposta

F   = Q ² 16 π a ² ϵ 0 l n b ² b ² - 4 a ²

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