Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Uniforme

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Enunciado

Um cilindro infinitamente longo e de raio R está carregado uniformemente em toda a sua extensão, sendo ρ a densidade volumétrica de carga. Calcule:

b ) O módulo do campo elétrico E a uma distância r > R do eixo do cilindro.

Passo 1

E aí galerinha, tudo na paz?

Nessa questão temos um cilindro maciço infinitamente longo com densidade de carga ρ .

Tipo esse cilindro aí, só que infinitamente longo, e com raio R na circunferência da tampa.

Precisamos calcular o módulo do campo elétrico em um ponto que está fora do cilindro, a uma distância r do seu eixo.

Alguma ideia de como fazer isso?

A ideia é usarmos justamente a Lei de Gauss. Segundo ela:

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

Então, vamos traçar uma superfície gaussiana cilíndrica com raio r ( que vai passar justamente pelos pontos a uma distância r do eixo) com eixo coincidindo com o eixo do nosso cilindro maciço.

Vem comigo que vai ficar mais claro 😊

Passo 2

Imagina que traçamos uma superfície gaussiana cilíndrica com comprimento L , raio r e com eixo coincidindo com o eixo do cilindro maciço. Assim, sua superfície lateral está passando justamente nos pontos a uma distância r do eixo (que é onde queremos calcular o campo).

Um ponto importante é que, como o cilindro maciço é infinito, devido à simetria existente na horizontal, o campo elétrico terá apenas componentes verticais. Assim, quando formos aplicar a lei de Gauss na superfície gaussiana, as tampas do cilindro de Gauss terão componentes do campo elétrico verticais, e vetores d A → na horizontal. Logo:

E → ⋅ d A → = 0

Portanto, nos preocuparemos apenas com a superfície lateral. Daí, vamos ter:

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

Como na superfície lateral todos os pontos estão a uma mesma distância r do eixo do cilindro, e o campo só deve depender da distância até o eixo (por causa da simetria), temos que esse campo é constante na nossa integral. Logo:

E → ⋅ ∫ d A → = q i n t ε 0

A integral de d A → nos dá justamente a área lateral do cilindro. Ou seja:

E ⋅ 2 π r L = q i n t ε 0

Já quanto à carga interna precisamos pensar um pouco...

O nosso cilindro gaussiano é grandão, e envolve todo o cilindro maciço em um comprimento L .

Assim, o volume do cilindro maciço que está dentro da superfície gaussiana, vale:

V = π R 2 L

Usando agora a densidade volumétrica de cargas, temos:

ρ = q i n t V

∴ q i n t = ρ ⋅ π R 2 L

Logo:

E ⋅ 2 π r L = ρ ⋅ π R 2 L ε 0

Então:

E = ρ ⋅ π R 2 L 2 ε 0 π r L  

Portanto:

E = ρ R 2 2 ε 0 ⋅ 1 r ,             r > R

Aeeee! Muito bom galera!

Conseguimos calcular o campo elétrico que o cilindro exerce a uma distância r > R do seu eixo 😊

Valeu, até a próxima!!

Resposta

E = ρ R 2 2 ε 0 ⋅ 1 r ,             r > R

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