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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Uniforme

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Enunciado

Duas pequenas esferas carregadas, cada uma de massa m , estão suspensas por fios de comprimento L , conforme diagrama abaixo. Um campo elétrico uniforme e aplicado ao longo da direção x . As esferas possuem cargas iguais a - Q e Q .

Determine:

a ) A força elétrica em função de m ,   g e θ , sobre cada esfera de modo que o conjunto fique em equilíbrio;

b ) O campo elétrico nas mesmas condições dadas no item a ;

c ) A tensão no fio nas mesmas condições dadas no item ( a ) ;

Passo 1

a ) A força elétrica em função de m ,   g e θ , sobre cada esfera de modo que o conjunto fique em equilíbrio;

A primeira coisa aqui é fazer o diagrama de corpo livre pra dar uma olhada na situação:

Como o sistema está em equilíbrio, podemos dizer que:

∑ F x = 0 → F e l - T sen ⁡ θ = 0

F e l = T sen ⁡ θ

∑ F y = 0 → T cos ⁡ θ - m g = 0

T cos ⁡ θ = m g

A partir da segunda equação, podemos escrever:

T = m g cos ⁡ θ

Substituindo isso na primeira equação, teremos:

F e l = m g cos ⁡ θ sen ⁡ θ → F e l = m g tan ⁡ θ

Passo 2

b ) O campo elétrico nas mesmas condições dadas no item a ;

Agora precisamos encontrar uma nova expressão para a força elétrica:

A força elétrica resultante sobre cada esfera será a soma vetorial da força elétrica de interação entre as duas esferas e a força elétrica exercida pelo campo elétrico externo.

F → e l = F → E + F → Q

F e l = Q E - 1 4 π ϵ 0 Q 2 d 2

De acordo com a geometria do problema, podemos dizer que:

d 2 = L sen ⁡ θ → d = 2 L sen ⁡ θ

Logo:

F e l = Q E - 1 4 π ϵ 0 Q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ

F e l = Q E - 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 2 ⁡ θ

Finalmente:

F → e l = Q E - 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

Passo 3

Igualando as expressões do passo 2 e do passo 1 para isolar o campo elétrico...

Q E - 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 2 ⁡ θ = m g tan ⁡ θ

Pra terminar com isso, só falta isolar o E e arrumar a bagunça:

Q E = m g tan ⁡ θ + 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 2 ⁡ θ

E = m g tan ⁡ θ Q + 1 16 π ϵ 0 Q L 2 sen 2 ⁡ θ

Finalmente:

E → = m g tan ⁡ θ Q + 1 16 π ϵ 0 Q L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

Passo 4

c ) A tensão no fio nas mesmas condições dadas no item ( a ) ;

Podemos escrever duas expressões para a tensão no fio. Nós escrevemos essas duas expressões no passo anterior. São elas:

T = m g cos ⁡ θ

e

T = F e l sen ⁡ θ

T = Q E - 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ

T = Q E sen ⁡ θ - 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 3 ⁡ θ

Resposta

a )

F e l = m g tan ⁡ θ

b )

E → = m g tan ⁡ θ Q + 1 16 π ϵ 0 Q L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

c )

T = m g cos ⁡ θ

T = Q E sen ⁡ θ - 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 3 ⁡ θ

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