Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Uniforme

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Enunciado

As duas placas de um capacitor esférico possuem raios a e b , com a < b . Considerando que há vácuo entre as placas, e que as placas interna e externa possuem cargas + q e - q , respectivamente, calcule:

a ) O módulo do campo elétrico a uma distância r do centro, para r < a ,   a < r < b ,   e r > b .

Passo 1

E aí gente bonita do Responde Aí, como é que vocês estão?

Nessa questão temos um capacitor esférico, com casca esférica interna de raio a e casca esférica externa com raio b . Na superfície da parte interna, temos uma carga + q e na superfície da parte externa temos uma carga - q .

Entre as placas há vácuo, então isso significa que a nossa permissividade magnética vale:

ε =   ε 0

Queremos calcular o campo elétrico em três regiões distintas:

- Região interna à placa esférica interna ( r < a )

- Região entre as placas ( a < r < b )

- Região depois das placas ( r > b )

Massa! A ideia principal pra calcular o campo nessas regiões é usarmos a lei de Gauss:

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

Vamo simbora!!

Passo 2

Bom, independente de termos r < a , ou a < r < b , ou ainda r > b , iremos traçar uma superfície Gaussiana esférica. Pela simetria do capacitor esférico, devemos ter o campo elétrico dependendo apenas da distância ao centro da distribuição de cargas.

Assim, traçando uma superfície gaussiana esférica temos que o campo elétrico em toda essa superfície deve ser o mesmo, e então podemos considerá-lo constante e colocá-lo para fora da integral da lei de Gauss:

E → ⋅ ∫ d A → = q i n t ε 0

A integral de todos os elementos de área d A → nos dará a área total da esfera. Além disso, o vetor área é paralelo ao campo elétrico. Assim, teremos:

E ⋅ 4 π r 2 = q i n t ε 0

Muito bom! Agora que chegamos nessa equação, vamos analisar as nossas possibilidades!

- Se estivermos na região r < a :

Então, estamos na região interior à placa esférica interna. Como toda a carga foi pra superfície, a carga nessa região interna vale:

q i n t = 0

Logo, vamos ter que:

E = 0 ,           r < a

Excelente!

Passo 3

- Se estivermos agora na região entre as duas placas esféricas, ou seja, a < r < b .

Então, a carga interna corresponde exatamente à carga na placa interna do nosso capacitor. Como falado no enunciado, essa carga vale:

q i n t =   + q

Logo, substituindo na equação que havíamos encontrado anteriormente, vem:

E ⋅ 4 π r 2 = q ε 0

Portanto:

E = 1 4 π ε 0 ⋅ q r 2 ,             a < r < b

- Se estivermos na região fora do capacitor r > b :

Nessa região, a carga interna corresponde à soma das cargas na placa externa do capacitor e da placa interna. Assim:

q i n t =   + q + - q

= 0

Logo, temos:

E = 0 ,         r > b

Prontinho!! Assim finalizamos a nossa questão 😉

Obrigado pela atenção pessoal!!

Resposta

E = 0 ,     r < a E = 1 4 π ε 0 ⋅ q r 2 ,     a < r < b E = 0 ,     r > b

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