Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Uniforme

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Enunciado

Um cilindro infinitamente longo e de raio R está carregado uniformemente em toda a sua extensão, sendo ρ a densidade volumétrica de carga. Calcule:

a ) O módulo do campo elétrico E a uma distância r < R do eixo do cilindro.

Passo 1

E aí gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos um cilindro maciço infinitamente longo com densidade de carga ρ .

Tipo esse cilindro aí, só que infinitamente longo, e com raio R na circunferência da tampa.

Precisamos calcular o módulo do campo elétrico em um ponto que está dentro do cilindro, a uma distância r do seu eixo.

Alguma ideia de como fazer isso?

A ideia é usarmos justamente a Lei de Gauss. Segundo ela:

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

Então, vamos traçar uma superfície gaussiana cilíndrica dentro do nosso cilindro maciço, passando justamente pelos pontos a uma distância r do eixo.

Vem comigo que vai ficar mais claro 😊

Passo 2

Imagina que traçamos uma superfície gaussiana cilíndrica dentro do nosso cilindro maciço. Esse cilindro imaginário deverá ter comprimento L e raio r . Assim, sua superfície lateral está passando justamente nos pontos a uma distância r do eixo (que é onde queremos calcular o campo.

Um ponto importante é que, como o cilindro maciço é infinito, devido à simetria existente na horizontal, o campo elétrico terá apenas componentes verticais. Assim, quando formos aplicar a lei de Gauss na superfície gaussiana, as tampas do cilindro de Gauss terão componentes do campo elétrico verticais, e vetores d A → na horizontal. Logo:

E → ⋅ d A → = 0

Portanto, nos preocuparemos apenas com a superfície lateral. Daí, vamos ter:

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

Como na superfície lateral todos os pontos estão a uma mesma distância r do eixo do cilindro, e o campo só deve depender da distância até o eixo (por causa da simetria), temos que esse campo é constante na nossa integral. Logo:

E → ⋅ ∫ d A → = q i n t ε 0

A integral de d A → nos dá justamente a área lateral do cilindro. Ou seja:

E ⋅ 2 π r L = q i n t ε 0

Já quanto à carga interna precisamos pensar um pouco...

Temos que a densidade volumétrica vale ρ . No nosso cilindro gaussiano, temos um volume dado por:

V = π r 2 ⋅ L

Assim:

ρ = q i n t π r 2 L

∴ q i n t = ρ π r 2 L

Substituindo na equação principal, temos:

E ⋅ 2 π r L = ρ π r 2 L ε 0

Daí:

E = ρ π r 2 L 2 ε 0 π r L  

Portanto:

E = ρ 2 ε 0 ⋅ r

Uhuuul! Conseguimos calcular o campo a uma distância r < R do eixo do cilindro 😊

Valeu pessoal, até a próxima 😉

Resposta

E = ρ 2 ε 0 ⋅ r

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