Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Uniforme

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Enunciado

Duas pequenas esferas carregadas, cada uma de massa igual a m , estão suspensas por fios de comprimento L , conforme o diagrama abaixo.

Um campo elétrico E uniforme é aplicado ao longo da direção x . As esferas possuem cargas elétricas + q e - q , como na figura ao lado.

Determine:

  1. O vetor força elétrica total, em termos de q , L , E e do ângulo θ , sobre cada uma das esferas de modo que o conjunto fique em equilíbrio;
  2. O campo elétrico total sobre a carga positiva devido ao campo e à carga negativa, quando o sistema está em equilíbrio;
  3. A tração no fio;

Passo 1

  1. O vetor força elétrica total, em termos de q , L , m , E e do ângulo θ , sobre cada uma das esferas de modo que o conjunto fique em equilíbrio;
  2. Beleza! Vamos nessa!

    Cada carga aqui está sofrendo a ação de duas forças elétricas: a força que uma carga faz sobre a outra e a força que o campo elétrico faz sobre elas, certo?

    A gente já sabe que cargas iguais se repelem e cargas opostas se atraem. Essa força de repulsão ou de atração é dada por:

    F → = k q 1 q 2 r 2 r ^

    Além disso, a força exercida sobre uma carga q por um campo elétrico é dada por:

    F → = q E →

    Passo 2

    Já que as cargas aqui são opostas, sabemos que elas estão se atraindo, e a força elétrica entre elas será:

    F = k - q + q r 2 = - k q 2 r 2

    Onde r é a distância entre as cargas. Olhando direito pra esse triângulo... dá pra relacionar r , L e θ com uma relação de seno, conseguiu enxergar? É como se dividíssemos esse triângulo em dois triângulos retângulos.

    Assim, podemos dizer que:

    r = 2 L sen ⁡ θ

    Logo:

    F = - k q 2 2 L sen ⁡ θ 2 = - k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ

    O sinal negativo aparece pra mostrar que as cargas estão se atraindo.

    Obs: Como já temos ideia do vetor de força de atração entre as cargas, trabalhamos só com o módulo aqui, a gente discute sobre o vetor daqui a pouco.

    A força gerada pelo campo elétrico aqui vai depender de qual carga estamos falando... sobre a carga negativa, a força será:

    F = - q E

    E sobre a carga positiva, a força será:

    F = q E

    Beleza, agora vamos analisar esses vetores pra cada uma das cargas.

    Passo 3

  • Carga positiva:
  • Sobrea carga positiva, a força de atração vai estar apontando na direção da carga negativa (sentido - x ^ ) e a força gerada pelo campo elétrico, sobre a carga positiva, vai apontar no mesmo sentido do campo, logo:

    Ah! Eu chamei de F → q a força de atração entre as cargas e F → E a força gerada pelo campo elétrico, só pra diferenciar. Então, a força elétrica resultante será:

    F → e l + = - k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ   x ^ + q E   x ^

    F → e l + = q E - k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

  • Carga negativa:

Sobrea carga negativa, a força de atração vai estar apontando na direção da carga positiva (sentido + x ^ ) e a força gerada pelo campo elétrico, sobre a carga negativa, vai apontar no sentido contrário ao do campo, logo:

A força elétrica resultante será:

F → e l - = + k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ   x ^ - q E   x ^

F → e l - = k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ - q E x ^

Passo 2

  • O campo elétrico total sobre a carga positiva devido ao campo e à carga negativa, quando o sistema está em equilíbrio;
  • Então, aqui não tem mistério.

    Você pode até pegar e escrever o campo elétrico gerado pela interação entre as cargas, ver o sentido desse campo elétrico e tal... ou você pode fazer do jeito mais fácil.

    Já vimos que a força elétrica total sobre a carga positiva é dada por:

    F → e l + = q E - k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

    Por definição, podemos associar essa força elétrica total com o campo elétrico total E → e l + através da relação:

    F → e l + = q E → e l +

    Logo:

    E → e l + = F → e l + q

    E → e l + = E - k q 4 L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

    Passo 3

  • A tração no fio;
  • Ok, vou começar pela carga positiva. Pra calcularmos a tração no fio, primeiro precisamos desenhar todas as forças que estão agindo sobre a carga. Como o problema fala que a carga tem massa m , teremos que levar em consideração também o peso da carga.

    Assim, sobre a carga positiva, teremos:

    O que temos que fazer aqui é encontrar as componentes dessas forças na direção da força de tração do fio. Pra isso, vamos usar ângulo θ ali. Pra simplificar, vamos fazer o diagrama de corpo livre dessa carga positiva:

    Escrevendo as forças na direção da tração, teremos:

    T + F q sen ⁡ θ - F E sen ⁡ θ - m g cos ⁡ θ = 0

    T = F E sen ⁡ θ - F q sen ⁡ θ + m g cos ⁡ θ

    T = q E - k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ + m g cos ⁡ θ

    Como o problema é simétrico, se calcularmos para a carga negativa, vamos encontrar o mesmo valor para tração.

    Resposta

    a.

    F → e l + = q E - k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

    F → e l - = k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ - q E x ^

    b.

    E → e l + = E - k q 4 L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

    c.

    T = q E - k q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ + m g cos ⁡ θ

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