Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Uniforme

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Enunciado

Duas pequenas esferas carregadas, cada uma de massa m , estão suspensas por fios de comprimento L , conforme diagrama abaixo. Um campo elétrico uniforme e aplicado ao longo da direção x . As esferas possuem cargas iguais a - Q e Q .

Determine:

a ) A força elétrica em função de m ,   g e θ , sobre cada esfera de modo que o conjunto fique em equilíbrio;

b ) O campo elétrico nas mesmas condições dadas no item a ;

c ) A tensão no fio nas mesmas condições dadas no item ( a ) ;

Passo 1

a ) A força elétrica em função de m ,   g e θ , sobre cada esfera de modo que o conjunto fique em equilíbrio;

Antes de começar, vamos entender mais ou menos o que acontece nesse problema.

Temos duas esferas de cargas Q e - Q que irão gerar uma força elétrica de atração entre si, vamos chamar essa força de F Q → .

Além disso, essas cargas estão sobre a presença de um campo elétrico que também irá gerar uma força elétrica nas cargas, vamos chamar essa força de F E → .

Ambas as forças são forças elétricas e, por conta disso, vamos soma-las e chama-la de F e l → .

F e l → = F Q → + F E →

Agora, para encontrar o valor da força elétrica que mantêm as cargas em equilíbrio, precisamos fazer o diagrama do corpo livre:

Como o sistema está em equilíbrio, podemos dizer que:

∑ F x = 0

F e l - T sen ⁡ θ = 0

F e l = T sen ⁡ θ

∑ F y = 0

T cos ⁡ θ - m g = 0

T cos ⁡ θ = m g

A partir da segunda equação, podemos escrever:

T = m g cos ⁡ θ

Substituindo isso na primeira equação, teremos:

F e l = m g cos ⁡ θ sen ⁡ θ

F e l = m g tan ⁡ θ

Passo 2

b ) O campo elétrico nas mesmas condições dadas no item a ;

Como vimos no Passo 1, a força elétrica será pela interação entre as cargas F Q → e pela interação com o campo elétrico F E → :

F → e l = F → E + F → Q

A gente sabe que a força gerada por um campo uniforme tem módulo dada por:

F E = Q E

A força de interação tem módulo

F Q = 1 4 π ϵ 0 Q 2 d 2

Onde d é a distância entre as bolinhas.

De acordo com a geometria do problema, podemos dizer que:

d 2 = L sen ⁡ θ → d = 2 L sen ⁡ θ

Logo,

F Q = 1 4 π ϵ 0 Q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ

Passo 3

Agora precisamos definir o sentido dessas forças. Para isso a gente tem que lembrar que como as cargas das bolinhas são contrárias, a força de interação tende a atraí-las. Para a força do campo a gente tem que lembrar que se a carga for positiva a força tem o mesmo sentido do campo, caso contrário será o sentido oposto ao campo.

Então no nosso problema vamos ter isso aqui:

Ou seja, independente da bolinha que a gente considere, uma força é oposta a outra! Vou considerar o sentido positivo para a direita e analisar a bolinha positiva. Teremos então:

F e l = Q E - 1 4 π ϵ 0 Q 2 4 L 2 sen 2 ⁡ θ

F e l = Q E - 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 2 ⁡ θ

Finalmente:

F → e l = Q E - 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

Agora precisamos somente substituir a expressão da força elétrica que calculamos no item ( a ) :

Q E - 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 2 ⁡ θ = m g tan ⁡ θ

Passo 4

Pra terminar com isso, só falta isolar o E e arrumar a bagunça:

Q E = m g tan ⁡ θ + 1 16 π ϵ 0 Q 2 L 2 sen 2 ⁡ θ

E = m g tan ⁡ θ Q + 1 16 π ϵ 0 Q L 2 sen 2 ⁡ θ

Finalmente:

E → = m g tan ⁡ θ Q + 1 16 π ϵ 0 Q L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

Passo 5

c ) A tensão no fio nas mesmas condições dadas no item ( a ) .

Podemos escrever a seguinte expressão para a tensão, obtida anteriormente:

T = m g cos ⁡ θ

Resposta

a )

  F → e l = m g tan ⁡ θ x ^

b )

E → = m g tan ⁡ θ Q + 1 16 π ϵ 0 Q L 2 sen 2 ⁡ θ x ^

c )

T = m g cos ⁡ θ

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