Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Uniforme

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Enunciado

Considere uma casca esférica com raio interno a e raio externo b , carregada uniformemente com densidade de carga ρ = γ / R , onde γ é uma constante e R é a distância ao centro.

Calcule o módulo do campo elétrico para:

a )   r < a

b ) a < r < b

c )   r > b

Passo 1

Faaaaaala pessoal, tudo certinho por aí?

Nessa questão temos uma casca esférica de raio interno a e externo b . Essa casca está carregada com uma densidade que depende da distância do ponto ao centro da casca esférica:

ρ = γ R

Queremos calcular o campo elétrico gerado por essa distribuição de cargas em um ponto dentro da parte “oca” da casca esférica, na própria casca esférica, e fora da casca esférica. Beleza?

Pra fazer isso vamos utilizar a Lei de Gauss. Segundo ela:

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

Um ponto de dificuldade pra aplicá-la vai ser a carga interna. Já que a densidade de cargas depende da distância ao cento, precisaremos montar uma integral pra calcular a carga interna em cada um dos casos.

Passo 2

Vamos começar pelo item a ) , quando temos:

r < a

Iremos traçar uma superfície gaussiana esférica de raio r . Assim, essa superfície está dentro da parte “oca” da nossa casca esférica.

Pela simetria da distribuição e da superfície gaussiana, podemos dizer que o campo vai depender apenas da distância ao centro da distribuição.

Assim, na Lei de Gauss, podemos considerar constante o campo E agindo há uma distância r do centro.

E → ⋅ ∫ d A → = q i n t ε 0

A integral dos elementos de área d A é justamente a área total da esfera gaussiana, ou seja:

A = 4 π r 2

Substituindo, temos:

E ⋅ 4 π r 2 = q i n t ε 0

Aí vem a parte mais importante... Quanto vai valer a carga interna??

Como estamos dentro da parte oca, não tem nenhuma carga interna à nossa esfera gaussiana, e dizemos que:

q i n t = 0

Logo:

E ⋅ 4 π r 2 = q i n t ε 0

Portanto:

E = 0 ,           r < a

Beleza! A primeira parte já foi 😊

Passo 3

Vamos agora para a segunda parte, calcular o campo quando temos:

a < r < b

Ou seja, para os pontos que estão dentro da casca esférica.

A estratégia geral permanece a mesma, vamos traçar uma superfície gaussiana esférica, o campo vai ser constante nessa superfície por causa da simetria. A área da esfera gaussiana também vale 4 π r 2 e aí chegamos novamente aqui:

E ⋅ 4 π r 2 = q i n t ε 0

Mas, quem vai ser a carga interna nesse caso? Então, precisaremos usar a densidade volumétrica!

Sabemos que em uma pequena casquinha dentro da casca esfera maciça, vale que:

ρ = d Q 4 π R 2 d R

Assim:

d Q = 4 π R 2 ρ d R

= 4 π γ R 2 R d R

Logo:

d Q = 4 π γ R d R

Vamos integrar de R = a até R = r . Teremos:

q i n t =   ∫ a r 4 π γ R d R

= 4 π γ R 2 2 a r

Logo:

q i n t = 2 π γ ( r 2 - a 2 )

Substituindo na equação principal da Lei de Gauss:

E ⋅ 4 π r 2 = 2 π γ ( r 2 - a 2 ) ε 0

Portanto:

E = γ 2 ε 0 ⋅ 1 - a 2 r 2 ,         a < r < b

Show! Morreu mais um item 😊

Passo 4

Por fim, vamos calcular para o caso:

r > b

Novamente, traçando a superfície gaussiana esférica chegaremos na seguinte equação:

E ⋅ 4 π r 2 = q i n t ε 0

Precisamos calcular a carga interna. No item anterior, como só estávamos pegando o pedaço da casca esférica de a até r , escrevemos a integral:

q i n t =   ∫ a r 4 π γ R d R

Agora, r > b , então estamos pegando toda a carga da casca esférica. Logo:

q i n t =   ∫ a b 4 π γ R d R

= 4 π γ R 2 2 a b

Logo:

q i n t = 2 π γ ( b 2 - a 2 )

Substituindo na nossa equação principal, vem que:

E ⋅ 4 π r 2 = 2 π γ ( b 2 - a 2 ) ε 0

Logo:

E = γ 2 ε 0 ⋅ b 2 - a 2 r 2 ,             r > b

Prontinho galeraaa! Terminamos!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

E = 0 ,           r < a

E = γ 2 ε 0 ⋅ 1 - a 2 r 2 ,         a < r < b

E = γ 2 ε 0 ⋅ b 2 - a 2 r 2 ,             r > b

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