Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Passo 1

Vamos entender algo importante: as retas tangentes horizontais terão coeficiente angular valendo 0 , ou seja, y ' = 0 . Para as verticais, teremos o coeficiente angular infinito. Vamos derivar a função implicitamente e descobrir aonde y ' assume esses valores:

x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2

2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 ' = 2 x - 2 y y '

2 x 2 + y 2 2 x + 2 y y ' = 2 x - 2 y y '

4 x 3 + 4 x y 2 + 4 x 2 y y ' + 4 y 3 y ' = 2 x - 2 y y '

4 x 2 y y ' + 4 y 3 y ' + 2 y y ' = 2 x - 4 x 3 - 4 x y 2

y ' 4 x 2 y + 4 y 3 + 2 y = 2 x - 4 x 3 - 4 x y 2

y ' = 2 x - 4 x 3 - 4 x y 2 4 x 2 y + 4 y 3 + 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos zerar o numerador para achar onde a derivada é nula, ou seja, onde temos as tangentes horizontais:

2 x - 4 x 3 - 4 x y 2 = 0

x 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0

Repare, x = 0 não é uma solução pois o ponto onde x = 0 é a origem, com y = 0 . Nesse ponto, vemos no gráfico que a derivada não é nula, além de que a fórmula de y ' ficaria com uma indeterminação de 0 0 em sua expressão.

Enfim, vamos procurar o seguinte:

2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0

4 x 2 + y 2 = 2

x 2 + y 2 = 1 2 → y 2 = 1 2 - x 2

Passo 3

Então, aplicando essa relação na função da lemniscata:

x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2

x 2 + 1 2 - x 2 2 = x 2 - 1 2 - x 2

1 2 2 = 2 x 2 - 1 2

2 x 2 = 1 4 + 1 2 = 3 4

x 2 = 3 8 → x = ± 3 2 2 = ± 6 4

Passo 4

Então, acharemos para y :

y 2 = 1 2 - x 2 = 1 2 - 6 16

= 2 16 = 1 8

y = ± 1 2 2 = ± 2 4

Portanto, os pontos serão:

6 4 , 2 4     ;     - 6 4 , 2 4     ;     6 4 , - 2 4     ;     - 6 4 , - 2 4

Passo 5

Procuramos agora os pontos onde y ' vai explodir para + ∞ . Devemos então zerar o denominador desse cara:

4 x 2 y + 4 y 3 + 2 y = 0

y 4 x 2 + 4 y 2 + 2 = 0

Repara, o termo do parênteses é uma soma de termos de expoente par, que são sempre positivos, e uma constante positiva. Esse cara nunca vai ser zero. Assim, tudo depende do y .

y = 0

Passo 6

E quando isso acontece na função dada? Vamos aplicar na sua equação e descobrir:

x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2

x 2 + 0 2 = x 2 - 0

x 4 = x 2

x 4 - x 2 = 0

x 2 x 2 - 1 = 0

Como já falamos antes, o ponto x = 0 e y = 0 não nos interessa, pois não vai gerar a reta vertical tangente. Então, ficamos com:

x = ± 1

Os pontos serão, portanto:

1,0     ;     - 1,0

Resposta

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