Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Ver Teoria

Enunciado

Passo 1

Vamos entender algo importante: as retas tangentes horizontais terão coeficiente angular valendo 0 , ou seja, y ' = 0 . Para as verticais, teremos o coeficiente angular infinito. Vamos derivar a função implicitamente e descobrir aonde y ' assume esses valores:

x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2

2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 ' = 2 x - 2 y y '

2 x 2 + y 2 2 x + 2 y y ' = 2 x - 2 y y '

4 x 3 + 4 x y 2 + 4 x 2 y y ' + 4 y 3 y ' = 2 x - 2 y y '

4 x 2 y y ' + 4 y 3 y ' + 2 y y ' = 2 x - 4 x 3 - 4 x y 2

y ' 4 x 2 y + 4 y 3 + 2 y = 2 x - 4 x 3 - 4 x y 2

y ' = 2 x - 4 x 3 - 4 x y 2 4 x 2 y + 4 y 3 + 2 y

Passo 2

Vamos zerar o numerador para achar onde a derivada é nula, ou seja, onde temos as tangentes horizontais:

2 x - 4 x 3 - 4 x y 2 = 0

x 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0

Repare, x = 0 não é uma solução pois o ponto onde x = 0 é a origem, com y = 0 . Nesse ponto, vemos no gráfico que a derivada não é nula, além de que a fórmula de y ' ficaria com uma indeterminação de 0 0 em sua expressão.

Enfim, vamos procurar o seguinte:

2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0

4 x 2 + y 2 = 2

x 2 + y 2 = 1 2 → y 2 = 1 2 - x 2

Passo 3

Então, aplicando essa relação na função da lemniscata:

x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2

x 2 + 1 2 - x 2 2 = x 2 - 1 2 - x 2

1 2 2 = 2 x 2 - 1 2

2 x 2 = 1 4 + 1 2 = 3 4

x 2 = 3 8 → x = ± 3 2 2 = ± 6 4

Passo 4

Então, acharemos para y :

y 2 = 1 2 - x 2 = 1 2 - 6 16

= 2 16 = 1 8

y = ± 1 2 2 = ± 2 4

Portanto, os pontos serão:

6 4 , 2 4     ;     - 6 4 , 2 4     ;     6 4 , - 2 4     ;     - 6 4 , - 2 4

Passo 5

Procuramos agora os pontos onde y ' vai explodir para + ∞ . Devemos então zerar o denominador desse cara:

4 x 2 y + 4 y 3 + 2 y = 0

y 4 x 2 + 4 y 2 + 2 = 0

Repara, o termo do parênteses é uma soma de termos de expoente par, que são sempre positivos, e uma constante positiva. Esse cara nunca vai ser zero. Assim, tudo depende do y .

y = 0

Passo 6

E quando isso acontece na função dada? Vamos aplicar na sua equação e descobrir:

x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2

x 2 + 0 2 = x 2 - 0

x 4 = x 2

x 4 - x 2 = 0

x 2 x 2 - 1 = 0

Como já falamos antes, o ponto x = 0 e y = 0 não nos interessa, pois não vai gerar a reta vertical tangente. Então, ficamos com:

x = ± 1

Os pontos serão, portanto:

1,0     ;     - 1,0

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que