Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Considere a curva dada por

3 x 2 + x 2 y 2 + x y = 5

Calcule y ' x .

Passo 1

Jogamos tudo pra esquerda:

3 x 2 + x 2 y 2 + x y - 5 = 0

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y :

F x , y = 3 x 2 + x 2 y 2 + x y - 5

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = 6 x + 2 x y 2 + y

F y = 2 y x 2 + x

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

y ' x = - F x F y

⇒ y ' x = - 6 x - 2 x y 2 - y 2 y x 2 + x

Resposta

y ' x = - 6 x - 2 x y 2 - y 2 y x 2 + x

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
Use a derivação implícita para determinar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y . x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que