Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 no ponto 0 , 1 2 .

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte.. primeiramente, para descobrir a equação da reta tangente, precisamos derivar a curva x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 ... mas trata-se de uma derivada implícita!!

Assim, a gente sabe que a derivação é implícita quando a variável dependente y não está isolada, certinho?

Dessa forma, a gente deriva os dois lados da igualdade para descobrirmos o resultado da derivada, isolar o y ' e substituir os pontos dados na questão!!

Agora vamos juntos resolver! 😉

Passo 2

Derivando os dois lados da igualdade, temos:

d d x x 2 + y 2 = d d x 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 ∴

2 x + 2 y y ' = 2 2 x 2 + 2 y 2 - x ∙ ( 4 x + 4 y y ' - 1 )

Passo 3

Para o ponto 0 , 1 2 temos a seguinte inclinação:

0 + y ' = 2 0 + 1 2 - 0 ∙ 0 + 2 y ' - 1 ∴

y ' = 2 y ' - 1 ∴

y ' = 1

Tendo a inclinação, podemos descobrir o ponto e, por consequência, a reta:

y = a x + b ∴

1 2 = 1 ∙ 0 + b ∴

b = 1 2

Logo, temos a seguinte equa��ão da reta:

y = x + 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = x + 1 2

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20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que