Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

9 - Para cada equação determine d y d x .

c) 5 - x 2 + x y = x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Temos apenas uma equação 5 - x 2 + x y = x e nosso objetivo é calcular a derivada de y com relação a x . Ou seja, d y d x .

Até podemos isolar y em um lado da equa��ão e derivar a igualdade com relação a x .

Mas a ideia aqui é aplicar o método de derivação implícita para obter essa derivada!

Sabe como fazemos para aplicar esse método? 🤔🤔

A derivada implícita segue uma fórmula dada por

d y d x = - f x f y

A derivada que está em cima passa para baixo e o que está em baixo passa para cima com o sinal negativo.

Mas não confunda achando que f x = d x e f y = d y .

Para aplicar esse método em equações, temos que fazer algumas adaptações.

Bora ver quais são? 😁

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos formar a função f que vamos derivar. Pra isso, vamos passar todos os termos da equação para um lado da igualdade.

5 - x 2 + x y = x

5 - x 2 + x y - x = 0

Agora fazendo f x , y = 0 , podemos dizer que

f x , y = 5 - x 2 + x y - x

Sacou? Então vamos derivar essa função...

Primeiro com relação a x

f x = d 5 - x 2 + x y - x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos

f x = d 5 - x 2 d x + d x y d x - d x d x

A derivada de 5 - x 2 é obtida pela regra da cadeia já que se trata de uma função composta.

Nesse caso a regra da cadeia é dada pela derivada da função de dentro multiplicada pela função de fora (substituindo a função de dentro por uma variável).

d 5 - x 2 d x = d 5 - x d x d u 2 d u

Pelo método de derivação polinomial

d 5 - x 2 d x = 0 - x 1 - 1 2 u 2 - 1

d 5 - x 2 d x = - 2 u

Voltando u para 5 - x de volta...

d 5 - x 2 d x = - 2 5 - x

d 5 - x 2 d x = 2 x - 10

Já as derivadas de x y e x são obtidas pelo método de derivação polinomial

d x y d x = x 1 - 1 y = y

d x d x = x 1 - 1 = 1

Portanto, f x é dado por

f x = d 5 - x 2 d x + d x y d x - d x d x

f x = 2 x - 10 + y - 1

f x = 2 x + y - 11

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de f com relação a y

f y = d 5 - x 2 + x y - x d y

Como estamos derivando com relação a y , x se comporta como uma constante, logo as derivadas de 5 - x 2 e x são nulas... então vamos ignorá-las

f y = d x y d y

Pelo método de derivação polinomial...

f y = x y 1 - 1

f y = x

Com f x e f y obtidos, então pela derivada implícita, temos

d y d x = - f x f y

d y d x = - 2 x + y - 11 x

d y d x = 11 - 2 x - y x

Então essa e a nossa derivada que estávamos procurando!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

d y d x = 11 - 2 x - y x

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
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20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que