Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

9 - Para cada equação determine d y d x .

a) x - 1 2 + y 2 = 3

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que calcular a derivada de y com relação a x da equação x - 1 2 + y 2 = 3 .

Pode parecer simples, mas se tentarmos isolar y e calcular pelo método convencional, seria muito complicado.

Mas você sabe algum método que poderia nos ajudar nessa situação? 🤔

Podemos usar o método da derivada implícita, sabe como é?

A ideia é que como queremos calcular d y d x temos uma fórmula que é dada por

d y d y = - f x f y

Ou seja, d y / d x é igual a menos a derivada com relação a x sobre a derivada com relação a y .

Para conseguir calcular f x e f y vamos fazer a equação se transformar em uma função f x , y = 0 .

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Passando todos os termos da equação para um lado só

x - 1 2 + y 2 - 3 = 0

Então se f x , y = 0

f x , y = x - 1 2 + y 2 - 3

O que nos resta é calcular a derivada de f com relação a x e com relação a y .

Primeiro com relação a x

f x = d x - 1 2 + y 2 - 3 d x

y e 3 são constantes para x , então como suas derivadas são nulas, vamos desconsiderá-las

f x = d x - 1 2 d x

Perceba que essa derivada é obtida pela regra da cadeia já que x - 1 2 é uma função composta.

A regra da cadeia é calculada como a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora substituindo a função de dentro por u , lembra?

f x = d x - 1 d x d u 2 d x

Pelo método de derivação polinomial, temos

f x = x 1 - 1 - 0 2 u 2 - 2

f x = 2 u

Substituindo u por x - 1 de volta...

f x = 2 x - 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos obter a derivada de f com relação a y

f y = d x - 1 2 + y 2 - 3 d y

Agora, x e 3 são constantes para y , logo também podemos desconsiderar nessa derivada.

f y = d y 2 d y

Pelo método de derivação polinomial...

f y = 2 y 2 - 1

f y = 2 y

Como a fórmula da derivada implícita no nosso caso é

d y d x = - f x f y

Substituindo os resultados de f x e f y , temos

d y d x = - 2 x - 1 2 y

Simplificando...

d y d x = - x - 1 y

Logo, essa é a derivada de y com relação a x da equação que nos deram.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d y d x = - x - 1 y

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que