Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

9 - Para cada equação determine d y d x .

f) x = t g y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nós temos uma equação dada por x = t g y e nosso objetivo é calcular a derivada d y d x .

Bem simples a ideia, não é?

Mas então como vamos obter essa derivada? 🤔🤔

A ideia aqui é aplicar o método da derivação implícita. Lembra como é?

Temos uma pequena formula para esse caso

d y d x = - f x f y

Mas pra isso, temos que fazer algumas mudanças na equação

Sacou? Bora ver como é! 😉

Passo 2

A mudança que temos que fazer na equação é transformá-la em uma função. Pra isso, vamos passar todos os termos da equação para um lado só

x = t g y

t g y - x = 0

Dessa forma, considerando uma função f x , y = 0 , temos que

f x , y = t g y - x

Agora podemos começar as derivadas...

Primeiro derivando com relação a x , temos

f x = d t g y - x d x

Como estamos derivando com relação a x , a variável y se comporta como uma constante, então a derivada de t g y é nula.

Já derivando x pelo método da derivação polinomial, temos

f x = 0 - x 1 - 1

f x = - 1

Entendeu essa parte? 😁

Passo 3

Agora derivando a função f com relação a y

f y = d t g y - x d y

Agora é a vez de x se comportar como uma constante e a derivada da tangente é dada pelo teorema fundamental do cálculo.

f y = s e c 2 y - 0

f y = s e c 2 y

Com f x e f y obtidos, podemos substituir na fórmula da derivada implícita

d y d x = - f x f y

d y d x = - - 1 s e c 2 y

Simplificando...

d y d x = 1 s e c 2 y

Lembrando que cos ⁡ x = 1 sec ⁡ x , então

cos ⁡ x = 1 sec ⁡ x → cos ⁡ x 2 = 1 sec ⁡ x 2

1 s e c 2 y = c o s 2 x

Logo...

d y d x = c o s 2 x

E essa é a derivada da equação que estávamos procurando!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

d y d x = c o s 2 x

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que