Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva x 2 - x y - y 2 = 1 no ponto ( 2,1 ) .

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte.. primeiramente, para descobrir a equação da reta tangente, precisamos derivar a curva x 2 - x y - y 2 = 1 ... mas trata-se de uma derivada implícita!!

Assim, a gente sabe que a derivação é implícita quando a variável dependente y não está isolada, certinho?

Dessa forma, a gente deriva os dois lados da igualdade para descobrirmos o resultado da derivada, isolar o y ' e substituir os pontos dados na questão!!

Agora vamos juntos resolver! 😉

Passo 2

Derivando os dois lados da igualdade, temos:

d d x x 2 - x y - y 2 = d d x ( 1 ) ∴

2 x - y - x y ' - 2 y y ' = 0 ∴

y ' = d y d x = 2 x - y x + 2 y

Passo 3

Para o ponto ( 2,1 ) temos a seguinte inclinação:

y ' = 2 ∙ 2 - 1 2 + 2 ∙ 1 = 3 4 = a

Tendo a inclinação, podemos descobrir o ponto e, por consequência, a reta:

y = a x + b ∴

1 = 3 4 ∙ 2 + b ∴

b = - 1 2

Logo, temos a seguinte equação da reta:

y = 3 4 x - 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = 3 4 x - 1 2

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
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20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que