Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

9 - Para cada equação determine d y d x .

d) x - 2 3 + x y = y 3

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dado uma equação x - 2 3 + x y = y 3 e foi pedido para que calculássemos a derivada d y d x .

Se fossemos tentar isolar y para calcular normalmente não íamos conseguir... mas para esses casos podemos aplicar o método da derivação implícita!

Sabe como aplicamos esse método? 🤔🤔

A derivada implícita tem uma formulinha que é dada por

d y d x = - f x f y

A relação das derivadas se inverte com um sinal negativo na frente.

Mas não confunda achando que f x = d x e f y = d y .

Para aplicar esse método, temos que fazer algumas adaptações.

Pronto? Bora por a mão na massa! 😁

Passo 2

Antes de começar as derivações, vamos formar a função que vamos usar para derivar.

Pra isso, vamos passar todos os termos da equação para um lado só

x - 2 3 + x y = y 3

x - 2 3 + x y - y 3 = 0

Assim, se fizermos f x , y = 0 , temos que

f x , y = x - 2 3 + x y - y 3

Começando as derivações derivando com relação a x , temos

f x = d x - 2 3 + x y - y 3 d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos que

f x = d x - 2 3 d x + d x y d x - d y 3 d x

A derivada de x - 2 3 é obtido pela regra da cadeia, já que é uma função composta...

A regra da cadeia é dada pela derivada da função de dentro multiplicada pela função de fora (substituindo a função de dentro por uma variável).

d x - 2 3 d x = d x - 2 d x d u 3 d u

Pelo método de derivação polinomial, temos

d x - 2 3 d x = x 1 - 1 - 0 3 u 3 - 1

d x - 2 3 d x = 3 u 2

Voltando u para x - 2

d x - 2 3 d x = 3 x - 2 2

Já para as derivadas de x y e y 3 , as derivadas são obtidas diretamente pelo método de derivação polinomial

d x y d x = x 1 - 1 y = y

d y 3 d x = 0

Substituindo esses resultados em f x , temos

f x = 3 x - 2 2 + y

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Agora vamos obter a derivada com relação a y

f y = d x - 2 3 + x y - y 3 d y

Nesse caso x - 2 3 se comporta como uma constante já que estamos derivando com relação a y , portanto podemos ignorar esse termo

f y = d x y - y 3 d y

Pelo método de derivação polinomial, temos que

f y = x y 1 - 1 - 3 y 3 - 1

f y = x - 3 y 2

Com f x e f y obtidos, vamos substitui-los na formulinha da derivada implícita

d y d x = - f x f y

d y d x = - 3 x - 2 2 + y x - 3 y 2

Simplificando...

d y d x = 3 x - 2 2 + y 3 y 2 - x

E essa é a derivada que estávamos procurando!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

d y d x = 3 x - 2 2 + y 3 y 2 - x

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que