Enunciado

Um homem anda ao longo de um caminho reto no plano, sobre o eixo e no sentido y positivo, a uma velocidade de 2   m / s . Um holofote, que está localizado sobre o eixo x positivo a 20   m da origem, focaliza o homem. Seja θ o menor ângulo que o holofote faz com o eixo x . Qual é a derivada em relação ao tempo de θ quando o homem está a 20   m da origem?

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte... vamos primeiramente tentar enxergar o que a questão está nos dizendo com uma figura. Se liga aí:

Passo 2

Pela figura, podemos tirar algumas informações:

tan ⁡ θ = y 20

Em que, para y = 20 m , temos:

tan ⁡ θ = 20 20 = 1 ∴

arctan ⁡ 1 = π 4   r a d = 45 °

Passo 3

Além disso, a gente sabe que a derivação é implícita quando a variável dependente y não está isolada, certinho?

Dessa forma, a gente deriva os dois lados da igualdade para descobrirmos o resultado da derivada!!

Assim, olha:

d d t tan ⁡ θ = d d t y 20 ∴

sec 2 ⁡ θ ∙ d θ d t = 1 20 d y d t

Passo 4

Sendo d y d t = 2   m / s e θ = π 4 , temos:

sec 2 ⁡ π 4 ∙ d θ d t = 1 20 2 ∴

d θ d t = 1 20   r a d / s

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d θ d t = 1 20   r a d / s

Exercícios Relacionados

Exercícios de Livros Relacionados