Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

8) f x , y = ln ⁡ a x + b y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função f x , y = ln ⁡ a x + b y .

Parece difícil? 🤔

Para calcular a derivada parcial de segunda ordem de uma função em relação a uma variável, consideramos as demais variáveis da função como constantes.

Para calcular as derivadas de segunda ordem calculamos a derivada do resultado que encontramos na primeira.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos derivar f em função de x

f x = ∂ ln ⁡ a x + b y ∂ x

Pela regra da cadeia, obtemos essa derivada como

f x = ∂ a x + b y ∂ x ∂ ln ⁡ u ∂ u = a 1 u

Simplificando e voltando u para a x + b y

f x = a a x + b y

Agora vamos fazer o mesmo para y pelo mesmo método.

f y = ∂ ln ⁡ a x + b y ∂ y = ∂ a x + b y ∂ y ∂ ln ⁡ u ∂ u

f y = b a x + b y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora podemos obter as derivadas de segunda ordem.

Primeiro vamos usar as derivadas de segunda ordem de f x .

Derivando f x com relação a x

f x x = ∂ a a x + b y ∂ x

Essa derivada pode ser calculada a partir da regra do quociente

f x x = ∂ a ∂ x · a x + b y - a · ∂ a x + b y ∂ x a x + b y 2

f x x = 0 · a x + b y - a · a a x + b y 2

f x x = - a 2 a x + b y 2

Agora derivamos f x com relação a y

f x y = ∂ a a x + b y ∂ y

Novamente pela regra do quociente

f x y = ∂ a ∂ y · a x + b y - a · ∂ a x + b y ∂ y a x + b y 2

f x y = 0 · a x + b y - a · b a x + b y 2

f x y = - a b a x + b y 2

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora vamos fazer as mesmas coisas para f y .

Derivando com relação a x

f y x = ∂ b a x + b y ∂ x

Novamente pela regra do quociente...

f y x = ∂ b ∂ x · a x + b y - b · ∂ a x + b y ∂ x a x + b y 2

f y x = 0 · a x + b y - b · a a x + b y 2

f y x = - a b a x + b y 2

Agora derivamos f y em função de y

f y y = ∂ b a x + b y ∂ y

f y y = ∂ b ∂ y · a x + b y - b · ∂ a x + b y ∂ y a x + b y 2

f y y = 0 · a x + b y - b · b a x + b y 2

f y y = - b 2 a x + b y 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f x x = - a 2 a x + b y 2

f x y = - a b a x + b y 2

f y x = - a b a x + b y 2

f y y = - b 2 a x + b y 2

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que