Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

9 - Para cada equação determine d y d x .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Essa questão é bem direta... temos uma equação dada por x 3 - y + 3 2 = x y e nosso objetivo é calcular d y d x .

Se tentarmos isolar y e derivar com relação a x , não vamos conseguir. Então precisamos de algum método para nos auxiliar nesse processo!

Tem alguma ideia? 🤔

Podemos aplicar o método de derivação implícita, o que você acha?

Esse método consiste em aplicar uma formulinha dada por

d y d x = - f x f y

Mas para isso, temos que transformar a equação em uma função.

Bora ver como fazemos isso? 😁

Passo 2

Passando todos os termos da equação para um lado só, temos

x 3 - y + 3 2 - x y = 0

Fazendo que uma função qualquer f x , y = 0 , podemos dizer que

f x , y = x 3 - y + 3 2 - x y

Assim transformamos a equação em uma função.

O que nos resta é derivar essa função com relação a x e a y .

Primeiro com relação a x , temos

f x = d x 3 - y + 3 2 - x y d x

Nos termos onde não tem x , podemos desconsiderar pois para d x é uma constante e a derivada de uma constante é 0 .

f x = d x 3 - x y d x

Pelo método de derivação polinomial, temos

f x = 3 x 3 - 1 - x 1 - 1 y

f x = 3 x 2 - y

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Agora derivamos f com relação a y

f y = d x 3 - y + 3 2 - x y d y

Fazemos a mesma coisa onde não tem y , vamos ignorar

f y = d - y + 3 2 - x y d y

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos

f y = - d y + 3 2 d y - d x y d y

A derivada de y + 3 2 é obtida pela regra da cadeia.

Essa regra nos diz que a derivada de uma função composta é dada pela derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora (nessa última derivada, substituímos a função de dentro por uma variável qualquer).

- d y + 3 2 d y = - d y + 3 d y d u 2 d u

Pelo método de derivação polinomial

- d y + 3 2 d y = - y 1 - 1 + 0 2 u 2 - 1

- d y + 3 2 d y = - 2 u

Voltando u para y + 3 ...

- d y + 3 2 d y = - 2 y + 3

Bacana, não é? 😎

Passo 4

Agora para a derivada de x y , aplicamos o método de derivação polinomial

- d x y d y = - x y 1 - 1

- d x y d y = - x

Dessa forma, o resultado de f y é dado por

f y = - d y + 3 2 d y - d x y d y

f y = - 2 y + 3 - x

Com f x obtidos e f y obtidos, substituindo na derivada implícita, temos

d y d x = - f x f y

d y d x = - 3 x 2 - y - 2 y + 3 - x

Simplificando...

d y d x = 3 x 2 - y 2 y + 3 + x

d y d x = 3 x 2 - y x + 2 y + 6

E essa é a deriva de y com relação a x da equação que tínhamos!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

d y d x = 3 x 2 - y x + 2 y + 6

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20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que