Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Considere a função

z = f ( x , y )

Definida implicitamente por

x y z = cos ⁡ ( x + z ) + ln ⁡ ( y + z )

Utilizando a regra da cadeia, obtenha as expressões das derivadas parciais ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

Passo 1

Jogamos tudo pra esquerda:

x y z - cos ⁡ x + z - ln ⁡ y + z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y , z :

F x , y , z = x y z - cos ⁡ x + z - ln ⁡ y + z

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = y z + sen ⁡ ( x + z )

F y = x z - 1 y + z

F z = x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Assim,

∂ z ∂ x = - y z + sen ⁡ ( x + z ) x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

∂ z ∂ y = - x z - 1 y + z x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

Resposta

∂ z ∂ x = - y z + sen ⁡ ( x + z ) x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

∂ z ∂ y = - x z - 1 y + z x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

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