Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.2 , questão 4

Considere que z 3 - x z - y = 0

  1. Encontre ∂ z ∂ y e ∂ z ∂ x
  2. Verifique que

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - 3 z 2 + x 3 z 2 - x 3

Passo 1

  1. Derivando a expressão em relação a y :
  2. 3 z 2 ∂ z ∂ y - x ∂ z ∂ y - 1 = 0

    Logo:

    ∂ z ∂ y = 1 3 z 2 - x

    Passo 2

    Derivando a expressão em relação a x :

    3 z 2 ∂ z ∂ x - z - x ∂ z ∂ y = 0

    Logo:

    ∂ z ∂ x = z 3 z 2 - x

    Passo 3

  3. Vamos derivar ∂ z ∂ y em relação a x . Temos:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 1 3 z 2 - x ∂ x

Porém

∂ 1 3 z 2 - x ∂ x = - 1 3 z 2 - x 2 6 z ∂ z ∂ x - 1

Substituindo ∂ z ∂ x = z 3 z 2 - x , temos:

∂ 1 3 z 2 - x ∂ x = - 1 3 z 2 - x 2 6 z z 3 z 2 - x - 1

Ajeitando:

∂ 1 3 z 2 - x ∂ x = - 1 3 z 2 - x 2 3 z 2 + x 3 z 2 - x = - 3 z 2 + x 3 z 2 - x 3

Logo:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 1 3 z 2 - x ∂ x = - 3 z 2 + x 3 z 2 - x 3

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Resposta

  1. ∂ z ∂ y = 1 3 z 2 - x e ∂ z ∂ x = z 3 z 2 - x

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