Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Determine ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y para

y z + x ln ⁡ y = z 2

Passo 1

Opa, temos aí uma expressão que define z implicitamente como função de x e y .

E como que eu sei disso?

Simplesmente porque a questão pede as derivadas parciais de z em função de x e de y e da essa expressão pra gente calcular a partir dela rs.

A gente pode usar então, o teorema da função implícita.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Jogando tudo pra esquerda e chamando de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = y z + x ln ⁡ y - z 2

Calculando as derivadas parciais:

F x = ln ⁡ y

F y = z + x y

F z = y - 2 z

Passo 3

Aplicando o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Assim,

∂ z ∂ x = - ln ⁡ y y - 2 z

∂ z ∂ y = - z + x y y - 2 z = - z y + x y y - 2 z = - z y + x y 2 - 2 z y

Resposta

∂ z ∂ x = - ln ⁡ y y - 2 z

∂ z ∂ y = - z y + x y 2 - 2 z y

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